Вирази та їх перетворення, страница 27

Нехай множина  - відома множина, яку ми розширюємо до нової множини . Можливі різні способи побудови множини . Множина  може бути побудована як нова множина (незалежно від множини ), потім у  виділяється множина, ізоморфна множині , яка ототожнюється з множиною . Такий спосіб використання деякий час у підручнику алгебри А.П.Кисельова і у зв’язку з його надмірною абстрактністю виявився непридатним для масової школи. З дидактичної точки зору більш доступним є інший спосіб. Суть його у тому, що для того, щоб отримати нову роз розширену числову множину , яка містить підмножину, ізоморфну , ми доповнюємо відому нам множину новими числами, отримуючи таким чином нову розширену множину. Саме такий спосіб реалізується у шкільних підручниках.

Важливим моментом процесу розширення поняття про число у шкільному навчанні є розкриття ідеї цього розширення, пояснення основної його мети. Не можна обмежуватися у навчанні лише формальним обґрунтуванням необхідності введення нових чисел для забезпечення виконання операцій.

У шкільному навчанні слід перед введенням нових чисел наводити приклади практичних задач, що не мають розв’язків (не завжди мають розв’язки) на відомій множині чисел. Для того, щоб розв’язати цю задачу, ми і розширюємо відому множину. Однак ці практичні потреби зазвичай не перекладають на мову математики, тобто не демонструється те, що вони рівносильні потребам у виконанні певної математичної операції.

Іноді у шкільному навчанні необхідність введення нових чисел пояснюється, з одного боку, практичними потребами, а з іншого – начебто не пов’язаними з нею математичними потребами, що є методологічною помилкою.

2. Вивчення раціональних чисел.

а) Попередні зауваження.

Питання про те, як саме розширювати поняття числа в школі досить дискусійне. З логічної точки зору краще дотримуватися послідовності . Але у школі традиційно склалась інша послідовність: після натуральних (а вірніше цілих невід’ємних) чисел переходять до невід’ємних раціональних, потім вводять від’ємні раціональні і т.д. Пояснюють доцільність такої послідовності тим, що учням легше зрозуміти поняття дробового числа (додатного), ніж цілого від’ємного.  Але така послідовність і не зручна в багатьох відношеннях. Дотримуючись її, доводиться залишати осторонь досить важливу множину цілих чисел , зате висвітлювати множину додатних дробових чисел (для якої в сучасній математиці немає навіть окремого символу). Крім того, якщо спочатку вводити додатні дробові числа і лише пізніше – від’ємні, то це надовго затримує ознайомлення учнів з загальним способом розв’язування рівнянь і нерівностей за допомогою перенесень їх членів з однієї частини в іншу. Тому цілком можливо, що в майбутньому від цієї послідовності розширення поняття числа доведеться відмовитися.

б) вивчення натуральних чисел.

Правильна орієнтація в методиці вивчення натуральних чисел у 5-му класі вимагає знання з першого зв’язку даної теми з курсом 1-4 класів, а з іншого боку – знання нового у змісті навчального матеріалу і методиці його викладання у 5-му класі.

Необхідно також враховувати загальні особливості підручника математики 5 класу. Адже у цьому підручнику посилюється значення теоретичного матеріалу: даються визначення, математичні терміни й позначення, формулюються факти та закони, окремим фактам дається теоретичне пояснення. У підручниках відповідний теоретичний матеріал викладено у вигляді невеликих фрагментів, після чого наведено вправи та задачі.

У 5-му класі даються визначення (або ж опис) понять: натурального числа, десяткового запису числа, координат точок, суми двох чисел, доданків числового виразу, значення виразу, розклад числа по розрядах, різниці двох чисел, добутку чисел, множників, частки двох чисел, діленого, дільника та ін.. учителю необхідно розрізняти, у якому випадку у підручнику приводиться повноцінне у логічному відношенні визначення, а в якому – опис поняття, яке не вимагає строгості.

У математиці при аксіоматичній побудові теорії натуральних чисел (наприклад, на основі аксіоми Пеано) поняття натурального числа є невизначеним (вихідним0. воно визначається непрямим способом: натуральним числом може бути довільний об’єкт, який задовольняє системі аксіом. У кількісній теорії натуральних чисел натуральне число визначається як потужність  скінченої множини. Звісно, у підручнику ці відношення не даються. У тих випадках, коли поняття подано у вигляді опису, вивчати напам’ять відповідне формулювання з учнями не потрібно.

З натуральними числами учні ознайомлюються, починаючи першого класу. Спочатку – з числами першого десятку, потім – першої сотні, тисячі. Учні 4-го класу під кінець навчального року повинні вміти прочитати й записати довільне натуральне число в межах мільярда і виконати чотири арифметичні дії над багатоцифровими числами.

Хоч учні і повинні навчитися записувати  і читати числа у початковій школі, все одно слід у 5-му класі закріпити і поглибити їх знання. На такому уроці можна використати таблицю класів і розрядів, у нижній частині якої є прорізи для вставляння “цифр”, а також демонстраційну рахівницю. Але не треба багато часу відводити на повторення розрядів і класів. Основну увагу треба звернути на запис чисел у вигляді суми порозрядних одиниць, наприклад

або

Пізніше таке представлення доведеться використовувати учням досить часто.

У 5-му класі бажано ще раз з’ясувати, чим відрізняються поняття “число” і “цифра”. Але слід уникати такого пояснення: “число 4 – це одне, а цифра 4 – зовсім інше”. Такого речення учні не зрозуміють. Для ілюстрації краще взяти число, записане кількома цифрами: “Число 45 – одне, а записано воно двома цифрами. Чисел існує безліч, а цифр – тільки десять. Як бачимо, число і цифра – це не теж саме...”

Деякі вчителі замість терміна “натуральні числа” вживають “цілі числа”. Зрозуміло, що кожне з натуральних чисел є цілим, і раціональним, і дійсним, і навіть комплексним. Проте у 5-му класі їх треба називати натуральними. Множина цілих чисел значно ширша від множини натуральних.