Вирази та їх перетворення, страница 6

Слід ознайомити учнів із табличним заданням функцій і зазначити, що цей спосіб задання зручний тим, що для знаходження її значень не треба робити ніяких обчислень. Незручний він тим, що таблиця займає досить багато місця. До того ж у таблиці бувають значення функцій не для всіх значень аргументу, а тільки для деяких.

Приступаючи до вивчення графіка функції, слід мати на увазі кінцевий результат – знання та уміння учнів за зим матеріалом. Школярі повинні вміти пояснити що таке графік функції і знати дві задачі, які можна розв’язати за допомогою графіка:

1)  Для кожного значення аргументу знайти відповідне йому значення функції;

2)  За даними значеннями функції знайти значення аргументу, яким воно відповідає.

Треба щоразу підкреслювати учням, що абсциси точок координатної площини дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції.

Пояснення організовують так, щоб учні самі будували розглядувані графіки, формулювали висновки. Перший “емпіричний” графік будують за готовою таблицею результатів спостережень за температурою. Потім будують графік функції, заданої формулою, знаходять ряд значень функції за деякими значеннями аргументу, яких немає в таблиці, а також розв’язують обернену задачу.

У подальшій роботі графік використовуються для ілюстрування властивостей функцій, описання характеру їх зміни зі збільшенням х, а також як обчислювальний засіб.

2.Методика введення окремих видів функцій.

Доцільно виділити загальну методичну схему вивчення окремих видів функцій як у курсі алгебри, так і в курсі алгебри і початків аналізу.

1.  Етап мотивації: розглядаються приклади залежностей, які приводять до даного виду функції.

2.  Формулювання означення функції, що вводиться.

Залежно від виду функції і підготовленості учнів, означення можна ввести конкретно-індуктивним методом (коли учні підводяться до самостійного виділення суттєвих властивостей і формулювання означення) або абстрактно-дедуктивним методом, (коли вчитель сам формулює означення і наводить приклади введеного виду функції). Розв’язування усних вправ на підведення під поняття функції, що вивчається. Серед пропонованих функцій мають бути й такі, що не належать до розглядуваного виду

3.   Побудова по точках за заздалегідь заготовленою таблицею графіка функції і “читання” по ньому властивостей функції. На наступних етапах навчання, зокрема в 9-10 класах, коли систематизуються відомості про функції, вводиться означення зростаючої, спадної, парної, непарної, періодичної функції.

4.  Застосування властивостей вивченої функції, зокрема до розв’язування рівнянь, нерівностей та інших задач [Слєпкань, 236].

а) лінійна функція.

На першому етапі наводяться приклади різних залежностей, які задаються тією самою формулою.

1)  Залежність шляху S при рівномірному прямолінійному русі від часу t, коли відомий початковий шлях S₀, який пройшло тіло:   де  і   - змінні,  і  - сталі.

2)  Видовження металевого стержня при нагріванні відбувається за формулою , де температура нагрівання  ы довжина стержня  - змінні,  - довжина стержня за температури 0°, к – коефіцієнт лінійного розтягу – сталі.

Якщо вводити означення лінійної функції конкретно-індуктивним методом, то можна запропонувати учням записати у загальному вигляді залежності між змінними у розглянутих прикладах у вигляді однієї формули, використавши позначення незалежної змінної буквою х, залежної – буквою у,  коефіцієнт при змінній – буквою к, а вільний сталий член – буквою b. Учні прийдуть до формули . Вчитель зауважує, що всі функції, які можна задати такою формулою, називають лінійними. Учням пропонується, скориставшись одержаною формулою, сформулювати означення лінійної функції. Доцільно в цьому разі звернути увагу учнів на суттєві властивості лінійної функції, які легко помітити зі структури формули, що задає цю функцію: це двочлен, у якого один член є добутком числа на перший степінь незалежної змінної, а другий член – число. У загальному вигляді між членами стоїть знак плюс. Якщо між членами є знак мінус, то він стосується вільного члена b. Несуттєвими ознаками є значення коефіцієнта к і вільного члена b. Вони можуть бути будь-якими числами, несуттєвим є порядок розташування членів одночлена.

Систему вправ на підведення під поняття лінійної функції доцільно побудувати, варіюючи несуттєві ознаки – значення к і b.

Після заповнення таблиць значень х і у для певної лінійної функції і побудови відповідних точок на координатній площині, учням повідомляють, що графіком лінійної функції є суцільна пряма, для побудови якої, як відомо з курсу геометрії, досить знайти дві точки. Коли значення b невеликі за модулем, одна точка (0;b) завжди відома безпосередньо з формули. Другою точкою будь-яка, координати якої можна обчислити з формули  при будь-якому заданому х. Інколи зручно обчислити точку перетину графіка з віссю х, беручи у=0 і обчислюючи відповідне значення х.

Бажано, щоб учні самі помітили, як впливають на розташування графіка знаки к і b: при к>0 пряма утворює з додатній напрямом осі х гострий кут, а при к<0 – тупий. Залежна змінна у зростає при зростанні х у першому випадку і зменшується в другому.

Лінійна функція застосовується вже при вивченні систем двох лінійних рівнянь з двома невідомими, зокрема при введенні графічного способу розв’язання таких систем і навіть раніше, коли учні вивчають графік лінійного рівняння з двома невідомими.

б) функції   і   .

Вивчення квадратної функції проводиться в двох концентрах. У 7-му класі розглядається її окремий вид – функція ,  а у 9-му класі - функція ,  її властивості і графік. Досвід, набутий учнями під час вивчення функції , створює основу для кращого усвідомлення властивостей функції загального виду, а також дає можливість ознайомити учнів 8-го класу з властивостями і графіком функції . Як вже зазначалося, вивчення елементарних функцій в основній школі здійснюється переважно на конкретно-індуктивному рівні, без строгих доведень. Базою для встановлення властивостей функції виступає графік, а простіші перетворення графіків дають змогу порівнювати властивості різних видозмін функцій. Отже, необхідно приділити достатню вагу початковому ознайомленню з функцією  і сформувати в учнів чіткі уявлення про її графік і властивості.