Другие предметы \ Теоретические основы автоматизированного управления

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теоретические основы автоматизированного управления», страница 72

Когда x(k) играет роль v(k), фильтр выдает оценки переменных состояния модели случайной помехиh(k), полученные на основе измерения векторовnx(k) или y(k). Эти оценки можно использовать в регуляторе состояния (7.38) для того, чтобы оптимальным образом подавлять помеху x(k), аналогично тому, как ранее подавлялось возмущение v(k).

Рассмотрим теперь способы построения формирующих фильтров

nxj(z) = Gpxj(z)×x(z);  j = 1, 2, ..., n,

(7.48)

для случайного возмущения, описываемого уравнениями (7.45) и (7.46). Будем полагать, что объект управления имеет один вход и один выход. Так как nxj = nx,, следовательно,

nx(z) = cт×[z×I - A]-1 ×F×x(z) =

(7.49)

Если F - диагональная матрица, то

nx(z) = ст×[z×I - A]-1× ×

(7.50)

В этом случае можно, зная величины f1, построить для каждой составляющей xi(z)свой фильтр помехи

Gpx (z) =

(7.51)

где

A(z) = det [zI - A];

(7.52)

DТ(z)=[Dm(z) ... Di(z) . . . D1(z)]Т=cТ× adj [z×I - A]×F.

(7.53)

Напомним, что объект управления обладает передаточной функцией

Gp(z) =

(7.54)

Нетрудно видеть, что знаменатель Gpx совпадает со знаменателем Gp, а числители этих передаточных функций имеют общие множители. Ниже приведен пример, в котором показано, как определяют числители Di(z) для двух различных канонических форм представления модели объекта управления.

Таким образом, основной результат, полученный в настоящем разделе, заключается в том, что регулятор (7.25) оптимален по отношению к коррелированному внешнему возмущению nx(k). Данный вывод основан на предположении о том, что nx(k) формируется из векторного белого шума x(k) или v(k), пропускаемого через фильтр, который описывается уравнениями (7.45) и (7.46). При заданных элементах f формирующие фильтры определяются  в форме передаточных функций

(7.55)

причем

D(z) = cT ×adj [z×I - A]-1 ×f = d1×zm + ...+dm-1×z+dm,

(7.56)

где, например,

x(k) = [1...11]T ×x(k),

(7.57)

v(k) = [1...11]T ×v(k) ,

F = f = [fm fm-1 ...f1]T.

(7.58)

Параметры f и  или V, а следовательно, и коэффициенты числителей формирующих фильтров D(z) используются лишь при расчете фильтра состояния и не влияют на синтез регулятора.

7.6. Алгоритм оценки состояния (фильтр Калмана)

В данном разделе рассматриваются случайные векторные сигналы, которые могут быть описаны марковским процессом

x(k+1) = A×x(k) + F×v(k),

(7.59)

дополненным уравнением измерений

y(k) = C×x(k)+n(k)  или  y(k+1)= C×x(k+1)+ n(k+1).

(7.60)

В дальнейшем в число переменных состояния будут включены также измерения входа u(k). Ниже используются следующие обозначения:

x(k) - вектор состояния (m´1);

v(k) - входной векторный случайный сигнал (p´1) с ковариационной матрицей V;

y(k) - вектор выходных измерений (r´1);

n(k) - вектор шума измерений (r´1) c ковариационной матрицейN;

A - матрица системы (m´ m);

F - матрица входа (m´ p);

C- матрица выхода (r´ m).

Предполагается, что матрицы А, Fи C не зависят от времени. Требуется получить оценку вектора состояния x(k) на основе измерений выхода y(k), содержащих случайные погрешности, представленные векторным белым шумомn(k).

Априорная информация включает следующие параметры:

A, C и F;

E{v(k)} =

cov[v(k),t=i-j] = E{v(i)×vT(j)} = V×dij;

E{n(k)} = 0;

cov[n(k),t=i-j] = E{n(i)×nT(j)} = N×dij,

где функция Кронекера

 

Шумы измерений входа v(k) и выхода n(k) считаются статистически независимыми. Оценки состояний являются функциями времени, и поэтому в большинстве приложений предпочтение отдается рекуррентным процедурам оценивания, позволяющим вычислять оценки x(k) по мере поступления измеренийy(k).

Вывод алгоритма оценивания может опираться на различные теоретические методы, в том числе:

- метод, использующий свойство ортогональности невязок и выходных измерений;

Скачать файл