Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теоретические основы автоматизированного управления», страница 68

2. Задача оценки состояния. Рассматривается известная система со случайным входным воздействием и шумом измерения, так что измеренный выходной сигнал z(t) представляет собой искаженное состояние x(t). Известны законы распределения шума устройства w(t) и шума измерения v(t), требуется найти “наилучшую” оценку истинного состояния системы x(t) по известному z(t).

3. Задача стохастического управления. Задача стохастического управления может быть получена путем объединения задач 1 и 2. Требуется определить управление , такое, чтобы выходное состояние x(t) изменялось желаемым образом. Присутствуют шум устройства w(t) и шум измерений v(t).  Известны законы распределения этих шумов, требуется найти наилучшую оценку состояния x(t) по наблюдаемому выходному состоянию z(t), прежде чем можно будет определить “наилучшее” управление, которое может быть управлением с разомкнутым  или замкнутым контуром.

4. Задача оценивания параметра. Во многих задачах приходится вводить некоторые методы идентификации параметров систем, которые могут меняться в зависимости от окружающих условий. Дана система, в которой, как и раньше, известны статистические характеристики шумов устройства и измерения и требуется определить наилучшую оценку некоторых параметров устройства, основываясь на знании детерминированного входного сигнала u(t), измеренного выходного сигнала z(t) и, если возможно, на знании некоторой априорной информации о структуре устройства. Как будет показано далее, для получения оценки параметра требуется произвести оценку состояния.

5. Задача адаптивного управления. Задача адаптивного управления может быть составлена в результате комбинации задач 1 - 4. При этом задаются статистические характеристики шумов w(t) и v(t) или некоторые методы определения этих характеристик. Параметры устройства - случайные. Требуется найти управление u(t), зависящее от шумов измерения и устройства, а также изменение динамики системы, такое, чтобы наилучшим образом выполнялись некоторые заданные условия. Если управление u(t) определено в виде функции от измеряемого выходного сигнала z(t), то мы имеем адаптивную систему с замкнутым контуром.

7.2. Линейный регулятор для непрерывного объекта

Приступим к исследованию частной задачи управления. Решение этой задачи дает закон линейного управления с обратной связью. Пусть имеется линейная система, характеризуемая дифференциальным уравнением

и требуется найти управление, обращающее в минимум функцию стоимости

при фиксированном t_f. При этом без потери общности можно предположить, что матрицы Q, R и S - симметричные.

 Решение этой задачи может быть получено с помощью принципа максимума или уравнения Гамильтона – Якоби. Здесь будет применен первый метод. Тогда можно составить гамильтониан системы

Для того чтобы воспользоваться принципом максимума, необходимо, чтобы для оптимального управления

и

при граничном условии

Далее потребуем, чтобы

и выясним, можно ли преобразовать это в управление по замкнутому контуру, предположив, что решение для сопряженного случая аналогично (7.6):

Подставляя (7.8) в (7.1) и (7.7), получим

Кроме того, из (7.8) и (7.5) следует

Объединяя (7.9) и (7.10), получим

Поскольку это равенство должно выполняться для ненулевых x(t), множитель, стоящий перед x(t), должен быть равен нулю. Таким образом, матрица Р, которая, как видно, является симметричной матрицей размерности n´n и которая содержит n(n+1)/2 различных членов (как будет показано ниже, она должна быть положительно определенной), должна удовлетворять матричному уравнению Риккати:

при граничном условии, заданном (7.6) и (7.8):