Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теоретические основы автоматизированного управления», страница 49

Рис. 3.5.

Для получения разностного уравнения достаточно любую дискретную функцию, зависящую от другой дискретной функции, представить в рекуррентной форме. Линейное разностное уравнение порядка m имеет вид

Здесь аргумент k×T₀ заменен индексом k.

Рис. 3.6.

Величину выходного сигнала при любом k можно вычислить с помощью рекуррентной формулы

если известны  текущее значение входа w(k) и m предшествующих значений w(k – 1), ...., w(k – m), а также соответствующие значения выхода x(k – 1), ..., x(k – m).

Другой способ построения разностных уравнений состоит в дискретизации дифференциальных уравнений. При этом дифференциальное уравнение первого порядка аппроксимируют разностным уравнением первого порядка, дифференциальное уравнение второго порядка – разностным уравнением второго порядка и т. д. При замене дифференциалов левыми разностями справедливы следующие соотношения, приведенные в таблице 3.1.

В примерах раздела 3.6 показано, как осуществляется дискретизация некоторых дифференциальных уравнений.

Выражение (3.1) является наиболее распространенной формой записи разностных уравнений. Если использовать разности высших порядков вплоть до m-го, разностное уравнение можно представить в виде

которое эквивалентно дифференциальному уравнению m-гопорядка.

Таблица 3.1

Описанные способы аппроксимации дают удовлетворительные результаты только в тех случаях, когда такт квантования T₀ мал по сравнению с постоянной времени T.

3.3. Решетчатыефункции

Эффективный математический метод описания дискретных функций основывается на замене последовательности импульсов x_p(t) решетчатой функцией, состоящей из идеальных импульсов. Идеальный импульс определяется как дельта-функция Дирака:

а его площадь равна

Если продолжительность замыкания ключа значительно меньше такта квантования, т. е. h £ T₀, импульсы последовательности x_p(t), имеющие площадь x(t)×h, можно приближенно заменить идеальным импульсами d(t) той же площади, то

Решетчатая функция x_d(t) физически нереализуема: она служит лишь удобной формой представления последовательности реальных импульсов x_p(t). Введение идеального квантователя, формирующего d-импульсы, позволяет значительно упростить прохождение дискретных сигналов через линейные динамические звенья. Этот приближенный переход иллюстрируется на рисунке 3.7. Предполагается, что площади реальных и соответствующих им идеальных импульсов одинаковы.

Рис. 3.7.

Учитывая, что последовательность идеальных импульсов определена лишь в моменты времени t = k×T₀,  k = 0, 1, 2, ..., уравнение (3.6) можно переписать в виде

При анализе динамических систем с одинаковыми, синхронно работающими ключами на входе и выходе, продолжительность замыкания h не учитывается. Фактически эта величина не влияет на конечный результат, если за ключом стоит экстраполятор. Поэтому ее можно выбрать произвольно, например положить для простоты h = 1 с. В этом случае последовательность идеальных импульсов описывается выражением

В выражении (3.8), полученном после нормализации (3.7), выходные сигналы квантователя (рис. 3.5) умножаются на идеальные импульсы d(t - kT₀).

Преобразование Лапласа. Применим к идеальному импульсу преобразование Лапласа:

,

где s = s + iw-  комплексная переменная. В результате получим

.