Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теоретические основы автоматизированного управления», страница 71

В разделе 7.6 будет показано, что неизвестные переменные состояния можно оценить с помощью рекуррентной процедуры, именуемой дискретным фильтром Калмана. Этот фильтр, в котором используются измерения y(k) и u(k), описывается разностным уравнением

где Г(k+1) матрица коррекции. В пределе, при k ®¥, она сходится к постоянной матрице Г. Отметим, что для вычисления оценки состояния необходимо знать параметры шумов N, V и F.

Известно, что в законе управления (7.28) вектор состоянияx(k) можно заменить его оценкой:

При этом вновь получается оптимальный регулятор, минимизирующий критерий качества (7.25), а вся система в целом приобретает вид

Введем ошибку оценки вектора состояния

и запишем систему (7.39) в форме

Полученное разностное уравнение  зависит от частотных свойств объекта, поскольку коррекция оценки состояния выполняется на основе предсказанного значения AПолюса системы управления с регулятором состояния и фильтром находятся из характеристического уравнения системы (7.41)

Как следует из этого уравнения, они включают m полюсов замкнутой системы без фильтра состояния, описываемой соотношением (7.29), и m полюсов, принадлежащих фильтру. Таким образом, полюса регулятора и фильтра не зависят друг от друга и могут задаваться отдельно. Следовательно, стохастические регуляторы состояния, также как и детерминированные, подчиняются  теореме о разделении. Действительно, в уравнениях фильтра состояния не участвуют весовые матрицыQ и R, входящими наряду с матрицами управления Аи Вв критерий качества, на основе которого рассчитывается линейный регулятор. С другой стороны, при синтезе регулятора не используются ковариационные матрицы V иN, а также матрица случайного возмущенияF. Общими в описании этих двух элементов стохастической системы являются только параметры объекта управления, т. е. матрицы А и В.

Поскольку регулятор остается неизменным независимо от того, используются ли в нем точные переменные состояния или их оптимальные оценки, к нему применим принцип эквивалентности. Согласно этому принципу, при расчете регулятора переменные состояния можно считать известными, а затем использовать вместо них оценки, получаемые с помощью фильтра. Последний, в  свою очередь, синтезируется на основе квадратического критерия и дает оценки с наименьшей дисперсией. Однако подобная схема уже не позволяет минимизировать критерий качества управления (7.33), как в случае точного измерения переменных состояния. Это объясняется наличием задержки на вычисление оценок и разбросом их значений.

Необходимо отметить, что принцип эквивалентности справедлив лишь при условии, что регулятор используется только для управления текущим состоянием, и вырабатываемый им сигнал не оказывает никакого влияния на последующие оценки состояния.

7.5. Оптимальные регуляторы с оценкой состояния при случайных возмущениях

При выводе стохастического регулятора состояния (7.38) предполагалось, что на вектор состояния x(k+1) действует случайное возмущение в виде векторного сигналаv(k). Очевидно, при отсутствии шума измерений, т. е. при n(k) = 0, y(k) = Cx(k).

В этом случае внутреннее возмущение v(k) проявляется на выходе как

Однако случайная составляющая выходного сигналаy_v(k) может быть вызвана и внешним возмущениемx(k). При этом справедливы следующие соотношения:

Ковариационная матрица сигналаx(k) определяется как