Математические методы в планировании производства: Лабораторный практикум, страница 7

.

Вообще говоря, все должны быть целочисленными переменными, но так как они в нашем примере имеют довольно большие значения, то мы будем считать округленные значения достаточно точным решением исходной задачи.

Значения переменных в оптимальном решении:

; ; .

Остальные переменные имеют значения, равные нулю. Последнее значение должно быть округлено до 13.

Иногда можно встретить другое выражение для целевой функции в этой задаче:

, где  - ширина остатка (отхода) после разрезки рулона по варианту j;

 -число лишних рулонов соответствующей ширины: при i = 1 ширина 45 см, если i = 2  - 24, i = 3 – 60 cм.

Таким образом, в этой формулировке минимизируется общая ширина неиспользуемых остатков. Но эта величина равна разности общей ширины разрезанных рулонов  и общей ширины всех рулонов, отправляемых заказчикам . То есть целевые функции  и  отличаются друг от друга на постоянную величину 41700 см, а это значит, что решение для этих двух задач будет одним и тем же.

1.5 Модели многостадийных производств

Пусть какая-либо стадия состоит из двух параллельно действующих производственных мощностей, выпускающих один и тот же продукт. В этом случае может оказаться необходимо ввести отдельные переменные для каждой. Спрос на продукт каждой предыдущей стадии равен потребности в этом продукте со стороны последующей. Эта потребность равна планируемому объему производства следующей стадии, умноженному на некоторый коэффициент. Например, на одну единицу продукта следующей стадии требуется 3 единицы продукта предыдущей стадии. Тогда этот коэффициент равен 3.

Пример 1.5

Рассмотрим задачу из примера 1.1, где производство состоит из пяти рабочих центров – штамповка, сверление, сборка, отделка и упаковка. Предусматривалась возможность привлечения субподрядчиков на операциях штамповки и сверления, а также возможность сверхурочной работы на отделке. Мы считали систему одностадийной, имеющей на каждой стадии по одному рабочему центру. Различные способы производства (собственное производство/субподрядчик, основное/сверхурочное время) мы рассматривали как отдельные технологические процессы.

Теперь будем представлять структуру системы как двухстадийную: первая стадия выполняет операции штамповки и сверления, вторая – остальные операции. На первой стадии имеется две производственные мощности – производство собственными силами и силами субподрядчика. Вторая стадия состоит из одной производственной мощности, выполняющей операции сборки, отделки и упаковки.

Обозначим через  количество продукта i, отштампованного собственными силами, через  - то же, но закупленное у субподрядчика. На второй стадии будем различать два процесса – отделка в основное время и в сверхурочное. Количество продукта i, прошедшего отделку в основное время, обозначим через , в сверхурочное - . Пусть  - затраты на штамповку и сверление единицы продукта i собственными силами,  - у субподрядчика, и  - стоимость обработки единицы продукта  процессом j на второй стадии. Тогда целевая функция будет иметь вид:

.

Область допустимых значений переменных задается ограничениями:

1.  Производительность стадии 1:

Штамповка: ;

Сверление:                 ;

Металл:                                         ;

2.  Производительность стадии 2:

Сборка:        ;

Отделка:            ;

;

Упаковка: ;

3.  Уравнения баланса запасов:

Стадия 1: ;

Стадия 2: ;

;

;

.

Оптимальное решение совпадает с полученным нами в примере 1.1. Сравнивая полученную здесь модель с той, что была построена в примере 1.1, видим, что эта модель содержит 15 ограничений и 16 переменных, а примере 1.1 мы имели 11 ограничений и тоже 16 переменных. Пять дополнительных ограничений – это уравнения баланса запасов. Хотя при прочих равных условиях модель с меньшим числом ограничений является более предпочтительной, мультистадийная модель имеет свои преимущества. Во-первых, нет необходимости определять все возможные комбинации производственных мощностей и технологических маршрутов внутри них (в примере 1.1 мы это делали, вводя переменные для каждой из этих комбинаций). Во-вторых, и это более важно, мультистадийная модель легче в применении, когда изменяются затраты, производительности оборудования или технологические маршруты. Изменения вносятся только в одну часть модели и не затрагивают остальных. Особенно значительными эти преимущества оказываются в больших многопродуктовых моделях, предназначенных для планирования на несколько смежных отрезков времени.