Математические методы в планировании производства: Лабораторный практикум, страница 12

В качестве целевой функции в задачах ОКП могут использоваться либо сумма издержек за весь плановый горизонт, либо сумма прибыли от реализации продукции, произведенной в соответствии с полученным планом. Будем считать, что издержки складываются из издержек на собственно производство и на хранение продукции.

Сначала рассмотрим вариант, когда целевая функция – это суммарные издержки. Введем обозначения:

x_t  - объем выпуска на t-м отрезке планового горизонта;

s_t  - уровень запасов в конце отрезка t; 

C_t(x_t,s_t) – зависимость общих издержек (на производство и хранение  продукции) от объема производства и уровня запасов на отрезке t.

Наличие индекса t у  функции С предполагает возможность того, что эти функции могут быть различными для различных отрезков, например из-за возможных изменений конъюнктуры на рынках используемых ресурсов (сырье, комплектующие, энергия и т. п.). Чаще всего эта функция представляется суммой затрат на производство и на хранение:

C_t(x_t,s_t) = C_t(x_t) + f_t(s_t),

где  С_t(x_t) – производственные затраты,

f_t (s_t) – затраты на хранение.

Критерий оптимальности плана F (целевая функция) формулируется очевидным образом:

F(x₁,x₂,…x_N,s₁,s₂,…s_N) = C₁(x₁,s₁) + C₂(x₂,s₂) +…+C_N(x_N,s_N) , где N – число отрезков (недель, декад или месяцев) в плановом горизонте.

Если в качестве критерия оптимальности принять суммарную прибыль, то целевая функция примет иной вид:

, где  - объемы продаж;

 - цены продажи.

Специфическими для задач ОКП являются ограничения, связывающие объемы выпуска, объемы продаж и уровни запасов. Вид этих ограничений зависит от принятых соглашений о формах удовлетворения спроса.

1. Спрос удовлетворяется полностью в каждом отрезке планового горизонта.

Переменные, определяющие объемы выпуска и запасы на смежных отрезках, являются взаимозависимыми, так как связаны следующими соотношениями материального баланса:

s_t = s_{t – 1} + x_t - d_t , t = 1, 2, … N , где d_t – спрос на t-м отрезке;

s_t  - уровень запасов в конце отрезка;

x_t  - объем выпуска на t-м отрезке планового горизонта.

Они имеют следующий простой смысл: запас в конце любого отрезка равен запасу, перешедшему с предыдущего отрезка, плюс выпуск и минус спрос на этом отрезке.

2.  Спрос в каждом отрезке может удовлетворяться не полностью, неудовлетворенная часть спроса теряется:

s_t = s_{t – 1} + x_t -v_t ,  t = 1, 2, … N , где  - объемы продаж, для которых должны выполняться неравенства:

v_t <= d_t, t = 1, 2, …N

- объем продаж в каждом отрезке не может превышать спроса.

Эти ограничения могут быть дополнены ограничениями на объем продаж снизу.

3.  Спрос в каждом отрезке может удовлетворяться не полностью, неудовлетворенная часть спроса (дефицит) должна удовлетворяться в последующих отрезках планового горизонта.

 + ,    где

 - уровень запасов компонента ,

 - уровень дефицита в отрезке t.

 - издержки содержания одной единицы продукта  в запасах в течение одного отрезка;

 - штраф за задержку одной единицы продукта  в течение одного отрезка.

2.1  Многопродуктовые модели ОКП

Главной особенностью многопродуктовых моделей ОКП является запись уравнений баланса запасов для многостадийных производств. Эти уравнения должны быть записаны для каждого продукта и каждого полуфабриката. Если полуфабрикат не имеет внешнего спроса, то есть не продается отдельно, то спросом на него является потребность со стороны следующей стадии производства, куда этот полуфабрикат передается для последующей обработки.

Тогда уравнения баланса запасов для двух смежных стадий имеют следующий вид:

s_1,t = s_1,t-1 + x_1,t – x_2,t+LT

s_2,t = s_2,t-1 + x_2,t – d_2,t ,    t = 1, 2, … N

где s_1,t – запас полуфабриката (на предыдущей стадии) в отрезке t;

s_2,t  - запас продукта на следующей стадии;

x_1,t - объем выпуска полуфабриката на t-м отрезке планового горизонта;

x_2,t – объем выпуска продукта на t-м отрезке планового горизонта;

d_2,t – спрос на продукт в t-м отрезке;

LT – время изготовления продукта.