Математические методы в планировании производства: Лабораторный практикум, страница 4

J_i - количество процессов (способов) производства для продукта i;

- спрос на продукт i, который должен быть полностью удовлетворен;

 - максимальное количество ресурса k-го вида, k = 1, 2, …K, доступное на планируемый период;

- число единиц k-го ресурса, используемое для производства одной единицы i-го продукта процессом j;

- издержки на единицу i-го продукта при производстве его процессом j.

Общие издержки производства (целевую функцию) можно представить в виде:

.

Необходимо найти такие значения всех переменных , которые дают минимум L при ограничениях:

, где i = 1, 2, …n,

- суммарный объем производства i-го продукта всеми процессами равен спросу на этот продукт;

, где k = 1, 2, …K,

- потребные для оптимального плана количества ресурсов не превышают имеющихся;

, i = 1, 2,…n; j = 1, 2,…J_i

– объемы производства на всех процессах неотрицательны.

Пример 1.2

Спрос на продукцию всех четырех видов задан и равен соответственно 3000, 500, 1000 и 2000 единиц, и он должен быть удовлетворен полностью. Предельное время работы оборудования за период планирования приведено в таблице 1.

Кроме этого, штамповка и сверление могут выполняться субподрядчиками, но при этом стоимость продукции возрастает на 20%. После выполнения субподрядчиками этих операций полуфабрикаты доставляются производителю для проведения сборки, отделки и упаковки.

При необходимости участок отделки может работать в сверхурочном режиме до 100 часов за плановый период. Однако при этом стоимость продукта 1 увеличивается на 20 центов за единицу, продукта 2 на 40 центов, продукта 3 на 20 и продукта 4 – на 30. Ограничение в 2000 м² листа для продуктов 2 и 4 действительно только для той продукции, на которой штамповка и сверление выполняются собственными силами (не у субподрядчика).

Целью производства в этом примере является выпуск продукции в заданных количествах при минимуме затрат. Для достижения этой цели, прежде всего надо определить объемы продукции каждого вида, произведенные каждым процессом. В данном случае имеется четыре процесса:

1.  Штамповка и сверление собственными силами, отделка в основное время.

2.  Штамповка и сверление собственными силами, отделка в сверхурочное время.

3.  Штамповку и сверление выполняет субподрядчик, отделка в основное время.

4.  Штамповку и сверление выполняет субподрядчик, отделка в сверхурочное время.

Мы должны ввести эти четыре различных процесса, поскольку стоимость единицы продукции и ограничения по потребляемым ими ресурсам для них различаются. Например, стоимость единицы продукта 1, производимого этими процессами равна 6,00, 6,20, 7,20 и 7,40 долларов.

Обозначим через  объем выпуска (количество продукта) i, i = 1, 2, 3, 4, производимое процессом j, j = 1, 2, 3, 4.

Тогда математическая модель планирования для данного примера может быть представлена в следующем виде: минимизировать функцию:

при ограничениях:

1) на производительность в основное время:

- на доступное время штамповки;

- на доступное время сверления;

- на доступное время сборки;

 - на доступное время отделки;

- на доступное время упаковки;

2) на производительность отделки в сверхурочное время:

3) на доступное количество листа:

;

4)  на требуемое количество продукции каждого вида:

;

;

;

.

Оптимальное решение приведено в таблице 3. Минимальное значение целевой функции равно 67013 долларов. Загрузка рабочих центров, соответствующая оптимальному решению, приведена в таблице 4.

Все 2000 м² листа были использованы в производстве продукта 4. По этой причине вся штамповка и сверление на  продукте 2 и частично на продукте 4 были переданы субподрядчику.

Полностью использован и ресурс времени отделки в основное время. Это значит, увеличение количества этих ресурсов, то есть ослабление ограничений по ним может снизить издержки производства, получить более выгодный вариант плана. Действительно, увеличение доступного количества листа на 1м² приводит к снижению суммарных издержек на 2,33 доллара, а увеличение доступного времени отделки на один час снижает суммарные издержки на 2 доллара. Эти оценки легко получить анализом чувствительности решения.