Применение матриц в кинематике точки и твердого тела (с использованием компьютера): Учебное пособие

 2,

 2П Р И М Е Н Е Н И Е   М А Т Р И Ц

 2В  К И Н Е М А Т И К Е  Т О Ч К И

 2И  Т В Е Р Д О Г О  Т Е Л А

(с использованием компьютера)

Часть 2

Учебное пособие  для  студентов факультетов "Механико-технологический" и "Летательные аппараты"

НОВОСИБИРСК 1998

--------------------------------------------------------------------- 53  2СОДЕРЖАНИЕ

8.Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки

9.Сложное движение точки

10.Общий случай движения твердого тела:

9.1 Сложное движение тела;

9.2 Исследование относительного движения свободного тела

11.Исследование относительного движения свободной точки

12.Использование компьютера для расчета  кинематических  параметров движения точки и системы

13.Литература и пособия

14.Приложения

- 55  28. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

8.1  2Вводные замечания 0. Движение твердого тела,  при котором одна из его точек остается неподвижной относительно выбранной системы отсчета во все время движения, называется сферическим движением.Часто  это движение называют вращением вокруг неподвижной точки.  Последнее название связано с понятием о мгновенной  оси вращения (ОМВ),с которым мы познакомимся позднее.Рассмотрим твердое тело, шарнирно закрепленное одной из его точек.Положение системы отсчета Сx2y2z2,жестко связанной с  телом, определяется так называемыми углами Эйлера.Каждый угол имеет свое название:

 7j 0 - угол прецессии,  7q 0 - угол нутации,  7f 0 - угол собственного вращения.Система координат Сx 42 0y 42 0z 42 0, а следовательно и твердое тело, движется относительно  системы отсчета Cx 41 0y 41 0z 41 0(рис.8.1).Движение данной системы на кинематические характеристки тела не влияет.Задачей кинематического анализа вращения твердого тела вокруг неподвижной точки является нахождение уравнений движений любой точки твердого тела,вычисление ее векторов скоростей  и ускорений. При этом 7  0должны быть известны углы Эйлера  как функции времени и заданы координаты самой точки.

8.2  2Разложение  сферического  движения  на  составные движе 2ния 0.Рассмотрим последовательные повороты тела на углы  7оj 0, 7 q 0, 7 f 0.

Пусть система координат Cx 42 0y 42 0z 42 0  повернута вокруг оси Cz 41 0 на угол прецессии  7j 0 (рис.8.1).Проведем через систему координат Cx 42 0y 42 0z 42 0 вспомогательную систему отсчета Cx 42 0`y 42 0`z 42 0`,которая во все время движения тела вращается вокруг оси Cz 41 0 согласно закону  7f  0= 7 f 0(t). Вместе с системой вращается наблюдатель  2RN 0`.Обозначим штрихованную систему отсчета как "новую".Тогда именуя систему  Cx 41 0y 41 0z 41 0 "старой",запишем на основе (5.6) соотношение

{x 41 0;y 41 0;z 41 0} = L 5-1 0( 7j 0)*{x 42 0`;y 42 0`;z 42 0`},     (a)

где в матрице преобразования L 5-1 0,согласно (5.7),угол поворота  7f

заменен на угол  7j 0, т.е.

- 56 ┌                ┐

│ cos 7 j 0 -sin 7 j 0 0 │

L 5-1 0( 7j 0) = │ sin 7 j 0 cos 7 j 0 0  │.             (b)

│ 0     0      1 │

└                ┘

Выражение (а) есть формула преобразования "новых" координат в  "старые" для любого момента времени t.

Проведем через штрихованную систему отсчета  Cx 42 0`y 42 0`z 42 0`  еще одну вспомогательную  систему  Cx 42 0"y 42 0"z 42 0"  ,которая  во все время движения вращается вокруг так называемой линии узлов,т.е.  вокруг оси Cx 42 0"   ,которая   совпадает   c  осью  Cx 42 0`.Вращение  системы

Cx 42 0"y 42 0"z 42 0" происходит согласно закону  7 q  0= 7 q 0(t). 7й 0Наблюдатель  2RN 0`, стоящий на штрихованной системе отсчета, видит как тело начинает вращаться  вокруг оси  Cx 42 0`, отклоняясь от осей Сy 42 0` и Cz 42 0`  на угол нутации 7 q 0.

Обозначая  систему отсчета  Сx 42 0`y 42 0`z 42 0`  "старой",а систему

Сx 42 0"y 42 0"z 42 0" "новой", составим  таблицу направляющих углов

 7ц 0 Таблица направляющих углов

┌────────────┬───────┬────────┬────────┬────────┐

│ Единичные  │   2i 42 0   │   2j 42 0    │   2k 42 0    │"Старые"│