Применение матриц в кинематике точки и твердого тела (с использованием компьютера): Учебное пособие, страница 6

│-( 7w 52 4y2 0 +  7w 52 4z2 0);    7w 4x2 0* 7w 4y2 0 ;    7w 4x2 0* 7w 4z2 0    │

 7W 52 0 = │  7w 4x2 0* 7w 4y2 0;   -( 7w 52 4x2 0 +  7w 52 4z2 0);    7w 4y2 0* 7w 4z2 0    │;   (8.10)

│   7w 4x2 0* 7w 4y2 0;  7  0      7w 4x2 0* 7w 4z2 0;  -( 7w 52 4x2 0 +  7w 52 4y2 0)│

└                                         ┘

┌                    ┐

│   0   -  7e 4z2 0    7e 4y2 0  │

 7E 0 = │    7e 4z2 0   0    - 7e 4x2 0  │,         (8.11).

│  - 7e 4y2 0    7e 4x2 0   0    │

└                    ┘

Чтобы найти координаты вектора углового ускорения во  враща-

- 63 ющейся системе отсчета Сx 42 0y 42 0z 42 0, возьмем производную по времени от

(8.6)

┌     ┐

│  7e 4x2 0 │

 7e 2  0=  │ e 4y2 0 │ =  2D 0R 4Е 0*{ 7w 4z1 0; 7w 4x2` 0; 7w 4z2 0} 2  0+ 2  0R 4Е 0*{ 7e 4z1 0; 7e 4x2` 0; 7e 4z2 0} 2. 0 (8.12)

│  7e 4z2 0 │

└     ┘

Вектор углового ускорения 7 уe 0 направлен по касательной к  годографу вектора  мгновенной угловой скорости (вектор угловой скорости  - по оси мгновенного вращения).

Зная координаты вектора углового ускорения,можно вычислитть ускорение точки в координатах  вращающейся системы отсчета

 2a 41 0= {a 41x2 0;a 41y2 0;a 41z2 0} = ( 7W 52 0 +  7E 0)*{x 42 0;y 42 0;z 42 0} ,  (8.13)

 2Пример 0 4. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки согласно уравнениям  7оj 0 =2t;  7q 0 =  7p 0/6;  7f 0 = 30t рад.Записать: уравнения движения  точки  М;уравнение   оси  мгновенногов вращения 4. 0Определить: мгновенную угловую скорость  вращения и угловое ускорение,а также скорость и  ускорение  точки для  момента  времени  t= 0 с;

координаты   точки x 42 0 = 2;y 42  0= 4  03;z 42 0 = 5 cм.

 2Решение 0. 1, Уравнения движения точки запишем на основе равенства  (8.2)

 2r 41 0= {x 41 0,y 41  0z 41 0} = L 5-1 0*{x 42 0;y 42 0;z 42 0}, где

┌

│ cos2t*cos30t - sin2t*(cos 7p 0/6)*sin30t;

L 5-1 0  =   │ sin2t*cos30t + cos2t*(cos 7p 0/6)*cos30t;

│ sin2t*sin30t;

└

┐

-cos2t*sin30t -  sin2t*(cos 7p 0/6)*cos30t;  sin2t*sin 7p 0/6  │

-sin2t*sin30t + cos2t*(cospi/6)*cos30t;  -cos2t*sin 7p 0/6 │;

(sin 7p 0/6)*cos30t;                         cos 7p 0/6        │

┘

- 64 при t = 0,6 с  матрица будет иметь следующий вид

┌                        ┐

│ 0,845  - 0,260   0,466 │

L 5-1 0 = │ 0,3801   0,907  -0,181 │.

│-0,375    0,330   0,866 │

└                        ┘

Уравнения движения  точки  М

┌    ┐      ┌

│ x 41 0 │      │ 2*(cos2t*cos30t - 0,86*sin2t*sin30t) │ y 41 0 │  =   │ 2*(sin2t*cos30t + 0,86*cos2t*sin30t) │ z 41 0 │      │ 2*sin2t*sin30t + 3*0,5*cos30t +

└    ┘      └

┐

-3*(cos2t*cos30t + 0,86*sin2t**cos30t) + 5*0,5*sin2t   │

-3*(sin2t*sin30t - 0,86*cos2t*cos30t) - 5*0,5*cos2t    │.

+5*0,86                                                │

┘

При t = 0,6 с  координаты точки будут равны (см)