Математическая постановка задачи оптимального проектирования цифровых фильтров. Основные типы фильтров частотной селекции и их применение, страница 4

Под оптимальным проектированием цифровой цепи будем понимать, как видно из описания, такое проектирование, которое предполагает не просто поиск оператора, обеспечивающего воспроизведение желаемой функции передачи с заданной точностью, но прежде всего поиск наилучшей в смысле принятого критерия качества структуры цели, включая оптимизацию всех ее параметров.  

Рассмотренная выше математическая постановка задачи является достаточно общей и требует конкретизации всех соотношений входящих в формулировку задачи. Возникающие здесь вопросы можно разделить на три группы:

описание и формализация класса операторов G_F обеспечивающих воспроизведение желаемой функции передачи  с наперед заданной точностью  в метрике пространства R;

описание и формализация подклассов  в классе операторов G_F, представление целевой функции  и вектора граничных  условий  в подклассах  в классе операторов G_F.

Рассмотрим постановку и решение задачи аппроксимации с желаемой функцией передачи . Желаемую функцию передачи полосового фильтра представим в виде:

где — Центральная  частота полосы пропускании,  и частоты среза полосы пропускания и зоны  непрозрачности; k — параметр, определяющий постоянную задержки.

Таким образом, будем полагать, что идеальная комплексная частотная характеристика цифрового фильтра частотной селекции должна иметь строго линейную ФЧХ, обеспечивать единичный' коэффициент передачи в полосе пропускания и быть абсолютно непрозрачной в области частот возможного появления помехи.

Представление желаемой частотной характеристики в пространстве R строго воспроизводимых в классе  функций передачи  является по существу задачей аппроксимации и предполагает заданной метрику  пространства R. В теории цепей общепринятой является минимаксная аппроксимация, решающая задачу чебышевского приближения с метрикой вида

 - весовая функция, которая обычно принимает вид:

2.4. Основные типы фильтров частотной селекции и их применение.

2.5 Постановка и решение задачи аппроксимации частотных характеристик в классе КИХ-цепей.

Пространство  строго воспроизводимых функций передачи  в классе КИХ цепей задается следующим дискретным представлением:

Для цифровых фильтров с линейной ФЧХ на импульсную характеристику  накладывают дополнительные ограничения вида , при этом  принимает вид

 - описывает функцию передачи фильтра с нулевой ФЧХ. Переход к физически реализуемому фильтру приводит к тому, что функция передачи (по крайней мере амплитудное значение) сохраняет свою форму, а ФЧХ – линейна.

Т.о. если желаемая ЧХ  может быть представлена на интервале периодичности  частичной суммой ряда Фурье, размерность которой не превышает порядка цепи N, то такая ЧХ принадлежит пространству строго воспроизводимых функций передачи

Представление с наперед заданной точностью желаемой ЧХ не принадлежащей пространству  имеет место для всех функций , отвечающим условиям теоремы Вейерштрасса: для  непрерывной на интервале периодичности  четной функции  и значения  найдется такое N-мерное пространство строго воспроизводимых функций передачи, для которого при всех M>=N будет иметь место следующее неравенство:

С учетом изложенного задачу аппроксимации в классе КИХ цепей можно сформулировать в следующем виде:

Найти минимальный порядок N и импульсную характеристику , отвечающую критерию близости к функции в смысле минимаксной аппроксимации обеспечивающей воспроизведение желаемой функции передачи  с ошибкой, не превышающей

Решение задачи аппроксимации опирается на использование теоремы Чебышева о равноволновой аппроксимации и алгоритм замены Ремеза.

2.6. Постановка и решение задачи аппроксимации частотных характеристик ЦФ в  классе БИХ цепей.

С целью уменьшения общих затрат, связанных с реализацией ЦФ, воспроизводящего желаемую  с заданной точностью  используют класс линейных операторов  более общего вида.