Математическая постановка задачи оптимального проектирования цифровых фильтров. Основные типы фильтров частотной селекции и их применение, страница 3

  Проблема анализа влияния собственных шумов и неточного представления параметров оператора Р на точность воспроизведения желаемых характеристик.

  Проблема синтеза малошумящих и низкочувствительных к неточному представлению параметров структур оператора Р. В зависимости от формы построения цифровой цепи и выбора ее параметров, влияние собственных шумов и неточного представления коэффициентов на конкретный результат обработки может быть различным, поэтому важной проблемой синтеза структуры оператора Р, является проблема построения малошумящих и низкочувствительных структур цифровой цепи.

  Проблема выбора схемотехнического решения:

  Классы ЦСП;

  Семейство процессорных модулей;

  Создание эффективного программного обеспечения.

2.3. Математическая постановка задачи оптимального проектирования цифровых фильтров.

Проектирование цифровых фильтров частотной селекции с точки зрения современных представлений теорий цифровых цепей включает в себя три основных этапа:      

1)  выбор класса цифровых цепей и аппроксимация желаемых частотных характеристик фильтра в пространстве функций, строго воспроизводимых заданным классом цифровых цепей;                                            

2)  выбор метода проектирования или поиск структуры цифре вой цепи, отличающейся возможностью эффективной программной или аппаратной реализации;

3) реализация цифрового фильтра.   

Исходную линейную цифровую цепь представим как совокупность элементарных цифровых звеньев, соединенных друг с другом определенным образом. К числу элементарных цифровых звеньев отнесем сумматор, умножитель на константу и элемент задержки на один период дискретизации Т. Правило, по которому эта цепь отображает воздействие х(пТ) в реакцию у(пТ), обозначим F и назовем оператором цифровой цепи.

Под проектированием линейной цифровой цепи в самом общем случае будем понимать синтез некоторого оператора F, выполняющего линейное преобразование пространства сигналов х(пТ) с целью воспроизведения заданной функции передачи  , где     - приведенная круговая частота, измеряемая в радианах и принимающая непрерывные значения в диапазоне .              В зависимости от принятой структуры линейной цифровой цепи, которая, в свою очередь, зависит от используемого метода проектирования, оператор F имеет различное математическое содержание. Поэтому будем полагать, что различным структурным реализациям оператора F соответствуют различные подклассы  класса операторов , обеспечивающих воспроизведение с наперед заданной точностью желаемой функции передачи цифровой цепи, представляющей в данном случае комплексную частотную характеристику цепи.

Пространство функций передачи цифровой цепи, строго воспроизводимых в классе операторов G_F, обозначим R. При этом желаемая функция передачи  может в общем случае и не принадлежать пространству R. Однако для произвольной должна существовать такая последовательность воспроизводимых в каждом из подклассов  функций передачи , при которой для любого сколь угодно малого >0 можно было найти такое n, при котором для всех l>=п имело бы место неравенство , где—метрика пространства функций R. Иначе говоря, в пространстве R строго воспроизводимых функций передачи должна существовать сходящаяся последовательность, пределом которой является желаемая функция передачи.                           .

Используя введенные выше понятия и обозначения, задачу проектирования линейно цифровой цепи сформулируем следующим образом: найти подкласс  класса операторов G_F и оператор F, такие, что:

где — допустимое отклонение в метрике пространства R.

Если цель проектирования связана не только с воспроизведением заданной функции передачи, но и с оптимизацией некоторогокритерия качества (целевой функции) при одновременном выполнении граничных условий ,то задача оптимального проектирования формулируется в виде: найти подкласс  класса операторов G_F и оператор F, такие, что: