Электричество и электрическая железная дорога. Конспект лекций по физике, страница 17

2. Закон Био-Савара-Лапласа.  Экспериментальные исследования магнитных полей проводников с током разных по форме привели к неоднозначным результатам.  Например, для прямого длинного проводника индукция убывала обратно пропорционально расстоянию от проводника. Лаплас  теоретически установил закон для индукции магнитного поля, создаваемого малым элементом проводника  dl с силой тока J.  В скалярном виде в системе СИ он имеет вид

.                                             7.2

Здесь μ₀ = 4π ∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная, которая служит для установления соотношения между электрическими и механическими единицами в формуле,  μ – относительная магнитная проницаемость, которая учитывает вклад в магнитное поле молекул среды.  Для всех материалов кроме ферромагнетиков она незначительно отличается от единицы.    Угол α между радиус-вектором r, проведенным из элемента проводника в точку наблюдения  и вектором длины элемента.

Направление вектора индукции определяется правилом буравчика: если вворачивать буравчик в направлении тока, то вектор индукции направлен по  вектору скорости конца ручки буравчика в точке наблюдения.

3. Применение закона Био-Савара- Лапласа и принципа суперпозиции для расчета магнитных полей проводников подтвердило результаты экспериментов. Например,  выведем формулу индукции магнитного поля отрезка прямого проводника с током в точке на расстоянии  а. от проводника (рис. 7.2).  Выделим элемент длиной dl на проводнике. Вектор индукции магнитного поля элемента, а также всех других элементов, согласно правилу буравчика, направлен за чертеж. По принципу суперпозиции . Подставим под знак интеграла формулу закона Био-Савара-Лапласа  . Под знаком интеграла три переменных.  Перейдем к одной переменной  – углу α по соотношениям  для сторон  треугольника:  ,  , откуда после дифференцирования  . Подставим полученные соотношения между переменными  и после сокращения проинтегрируем. Получим формулу индукции магнитного поля отрезка прямого проводника

                                         7.3

Если проводник бесконечно длинный (a << l,  α₁→0,   α→π ), то формула для индукции принимает вид

.                                               7.4

Как и в опытах Био и Савара индукция магнитного поля убывает обратно пропорционально расстоянию от проводника, а силовые линии поля  являются концентрическими окружностями.

4. Силовые векторные поля характеризуют циркуляцией вектора по некоторому контуру и потоком вектора через поверхность контура. Поток по определению равен интегралу от скалярного произведения вектора индукции по площади контура: . Поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих контур.

Определим циркуляцию вектора индукции   для уже известного магнитного поля длинного проводника с током по некоторому контуру, охватывающем проводник. (рис.7.3). Произведение – это проекция вектора элемента длины на вектор индукции, которая равна длине дуги . Подставив формулу индукции поля длинного проводника с током, получим   . Циркуляция вектора индукции не зависит от формы контура интегрирования, ни от его размеров, ни от положения проводника внутри контура. Обобщим  на произвольное число проводников с током:

.                                           7.5

Это закон полного тока: циркуляция вектора индукции магнитного поля по произвольному контуру  равна произведению  абсолютной магнитной проницаемости среды на алгебраическую сумму токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром интегрирования.

5. Закон полного тока позволяет в задачах с известным распределением  магнитного поля сравнительно легко определить индукцию. Рассмотрим пример, поле тороида – катушки, намотанной равномерно на тор. Пусть тор имеет разрез,  воздушный зазор (рис. 7.4).  Силовые линии магнитного поля это окружности. Индукция магнитного поля вдоль окружности одинакова как в сердечнике, так и в воздушном зазоре. Это связано с тем, что силовые магнитного поля замкнуты, а при малой длине зазора их густота и индукция почти неизменна. Если длины сердечника и зазора равны  lиl₀ , магнитные проницаемости   μμ₀ и μ₀ то сумма токов, пронизывающих поверхность внутри окружности равна произведению числа витков на силу тока. Интеграл по замкнутому контуру представим суммой двух интегралов по контуру в  сердечнике и зазоре. Таким образом, по закону полного тока . Индукция магнитного поля в сердечнике тороида одинакова по силовой линии и равна