Качество и эффективность метрологического обеспечения, страница 3

Этих недостатков лишена рассматриваемая ниже модель для функции потерь качества измерений, определяемая ошибками первого и второго рода (рисками поставщика и потребителя), которые определяются и вычисляются с учётом допусков на измеряемые параметры и статистических свойств измеряемых параметров и погрешностей измерения.

Оценка качества измерительного контроля имеет развитую теоретическую и практическую основы. Прежде всего, очевидно, что идеальными измерениями являются измерения с нулевыми погрешностями (мультипликативной, систематической и аддитивной) и появление любой из названных погрешностей, отличной от нуля в определённой ситуации может привести к потере качества измерений. Например, при наличии аддитивной гауссовой погрешности даже со среднеквадратическим значением много меньшим половины поля допуска на измеряемый параметр, измерения  на границах поля допуска теряют смысл, так как вероятности ошибок первого и второго рода равны 0,5 и энтропия измерений максимальна и равна единице. Для мультипликативной и систематической погрешностей ошибки первого и второго рода также максимальны для параметров, принимающих граничные значения, и величина этих ошибок определяется статистическими свойствами этих погрешностей. Отсюда следует важный для практики вывод, что потеря качества продукции за счёт отклонения измеряемого параметра от его номинального значения приводит к потерям качества измерений.

При известной модели затрат на измерения (затрат на средства измерений и проведение операций контроля), например, в виде функции обратно пропорциональной среднеквадратическому значению погрешности измерения, как предложено в рекомендациях [2], можно определить суммарные затраты на измерения и потери качества измерений. Ниже показано, что существуют минимумы суммарных затрат. Это позволяет обоснованно определять требования к точности средств измерений и оптимизировать затраты на средства измерений и на проведение операций измерительного контроля.

2 Определение номенклатуры контролируемых параметров.

Один из вариантов решения этой задачи был рассмотрен в работах [4,5,6], в которых использовался метод регрессионного анализа.

Известно [4,5], что оптимальной в смысле минимума среднеквадратичного отклонения оценкой гауссовой случайной величины х_i, статистически связанной с некоторым множеством (вектором) случайных гауссовых величин (х₁,..,х_n) является условное математическое ожидание, выраженное в виде линейного уравнения

,             (1.1)

, M{x_i}= 0, здесь b_ji - коэффициенты, полученные из решения n-t систем уравнений, каждая из которых состоит из t линейных алгебраических уравнений

, , ,                          (1.2)

где R_ij - корреляционный момент между случайными величинами х_i и x_j.

При использовании линейной оценки (1.1) среднеквадратическая ошибка минимальна и равна условной дисперсии

.                                       (1.3)

(3)

Определим выражение для условной дисперсии (3). Для этого представим случайную величину x_i в виде суммы двух независимых случайных величин [2]:

,                                                                                                                                    (4)

где х_i оценка (1); - случайная ошибка. С учетом выражения (4) получим:

                                                                                                    (5)

Дисперсия оценки D() определяется выражением [2]

,                                                                                            (6)

Учитывая, что, D() =R_ii для условной дисперсии (3) имеем .                                                                                 (7)

При отсутствии корреляции x_i с  (либо при отсутствии результатов их измерений) наилучшей оценкой  является ее математическое ожидание (в данном случае нулевое).

При этом погрешность оценки равна

.                                                                                                                     (8)