Линейные цепи с сосредоточенными параметрами. Линейные четырехполюсники. Колебательные контуры (5-7 главы учебника "Радиотехнические цепи и сигналы" под ред. К.Е.Румянцева), страница 14

              Колебательным контуром называют замкнутую цепь, состоя­щую из реактивных элементов различного типа, т.е. из индуктив­ных катушек и конденсаторов. В простейшем случае в колебатель­ный контур входят одна индуктивная катушка и один конденсатор.

              На рис. 7.1 показаны электрическая цепь, не имеющая потерь, и колебательные процессы, происходящие в ней.

              Для того чтобы понять процессы, происходящие в колебатель­ном контуре, рассмотрим свободные колебания в идеальном ко­лебательном контуре (см. рис. 7.1, а), в котором сопротивления потерь индуктивной катушки и конденсатора равны нулю (RL= 0, Rc= 0). В этом случае потери энергии в контуре отсутствуют.

              Чтобы зарядить конденсатор до напряжения источника Еп, замкнем переключатель S  в положение 1. В результате этого вклю­чения верхняя обкладка конденсатора получит положительный заряд, а нижняя — отрицательный. В конденсаторе накопится энер­гия WcП2 С/2, которая определит ЭДС емкости ес.

              Зарядив конденсатор в момент времени t=0 (см. рис. 7.1, б), переведем переключатель S в положение 2. В этом случае конден­сатор начнет выступать в роли вторичного источника энергии. Его ЭДС ес будет приложена к индуктивной катушке, выступающей в роли нагрузки. В цепи должно выполняться равенство мгновенных значений напряжений uc(t) = uL(t) и токов ic(t) = iL(t) = i(t). Так как напряжения на конденсаторе и индуктивности изменяются по законам  uc(t) = Еп -(1/С) ∫0t i(t)dt  и , uL(t) =L (di(t)/dt),  то для идеализированного контура можно записать уравнение

                                           Еп =(1/С) ∫0t i(t)dt + L (di(t)/dt)(7.1)

Решением уравнения является функция

i(t) = Imsin(ω0t),                                                      (7.2)

где  Im = En √(C/L)   — амплитуда колебаний тока;   ω0 = 1/√(CL)  —круговая частота свободных колебаний в контуре.

              

Рис. 7.1. Электрическая цепь, не имеющая потерь (а),

и колебательные процессы, происходящие в ней (б)

             Рост тока в цепи будет продолжаться от 0 до Im пока ЭДС емко­сти ес не станет равной нулю (момент времени t = t1, на рис. 7.1, б). В этот момент индуктивная катушка накопит максимальную энер­гию WL = LIm2/2, а энергия конденсатора будет равна нулю. Энер­гия катушки при t=t1равна энергии конденсатора при t = 0.

             Несмотря на то что в момент t = t1напряжение ис = 0, ток в цепи не может исчезнуть мгновенно, так как уменьшение тока сопровождается возникновением ЭДС самоиндукции индуктив­ной катушки eL. Эта ЭДС поддерживает протекание тока в том же направлении, что и на интервале времени [0, t1], заряжая ниж­нюю обкладку конденсатора положительно, а верхнюю отрица­тельно. Таким образом, в интервале времени [t1,t2] вторичным источником энергии выступает индуктивная катушка, а потреби­телем — конденсатор. Ток, протекающий в конденсаторе и индук­тивной катушке, будет один и тот же (iL = iс). При этом напряже­ние на конденсаторе изменяется во времени по закону

                                                                                              (7.3)

где Um = Im √(L/C) = Епамплитуда колебаний напряжения.

             В интервале времени [t1,t2] ток в цепи, определенный энерги­ей индуктивной катушки, будет уменьшаться. Это приведет к на­коплению энергии в конденсаторе. При

iL = 0 в момент t = t2 на­пряжение uс достигнет величины -Um = -En. Энергия в емкости Wc при t = t2 будет равна энергии индуктивной катушки при t = t1.

             В интервалах времени [t2, t3] и [t3,t4 ] процессы, протекающие в цепи, будут те же, что и в интервалах [0,t1] и [t1,t2] соответствен­но. Отличие будет только в том, что напряжение на контуре и ток в цепи будут иметь противоположные направления.

            Через период повторения переходного процесса в контуре Т = 2π/ω0 состояние контура возвращается в исходное положение, соответствующее моменту t= 0. При t> Т процесс в цепи продол­жается бесконечно долго, поскольку в цепи потери энергии от­сутствуют, а наблюдается только перенос энергии от конденсато­ра к индуктивной катушке и обратно.

            В соответствии с формулами (7.2) и (7.3) свободные колеба­ния в идеальном контуре описываются гармоническими функция­ми и зависят от круговой частоты свободных колебаний в контуре  ω0 = 1/√(CL). 

            В идеальном контуре потери энергии отсутствуют. В результате этого происходит полное преобразование энергии одного вида в другой (электрической энергии в магнитную энергию и наобо­рот). Так как максимальные значения электрической и магнит­ной энергий контура равны между собой Um2C/2=Im2L/2, то Um/Im = √(L/C) = р. В этом уравнении величина

                                                                                                (7.4)

определяет отношение амплитуд напряжения и тока и называется характеристическим сопротивлением контура.

              Поскольку частота свободных колебаний в контуре ω0 = 1/√(CL)  определяется параметрами реактивных элементов (индуктивнос­тью катушки Lи емкостью конденсатора С), то изменения тока (7.2) и напряжения (7.3) в контуре зависят только от параметров реактивных элементов. Частота свободных колебаний в контуре называется резонансной частотой контура.

              Полные сопротивления индуктивности и емкости определя­ются по формулам:

ХL = ωL и Хс= 1/(ωС). На резонансной частоте контура находим:

XL0L=L/√(LC)=√(L/C)=p; Xc=1/(ω0C)=√(LC)/C=√(L/C)=p.

              Таким образом, на резонансной частоте контура полные со­противления индуктивности и емкости равны между собой ω0L=1/(ω0C) и равны характеристическому сопротивлению контура (7.4).

              Процесс изменения тока и напряжения в контуре, не имею­щем потерь, продолжается бесконечно долго. В выражениях (7.2) и (7.3), описывающих изменение тока и напряжения в идеальном контуре, значения функций синус и косинус повторяются через период Т =2π/ω0. Тогда период изменения тока и напряжения в контуре может быть рассчитан по формуле Т = 2π√(LC).

             Длина волны колебаний в контуре определяется выражением

λ0=cT=c2π√(LC)=3·108·2π√(LC)=1,88·109√(LC),