Конспект лекций по теории электрической связи, первая часть, страница 8

1)    (1)

2)  Для точного восстановления из последовательности отсчетов , нужно просуммировать все отсчеты с некоторым весом

 (2)

На практике эту теорему часто формулируют иначе. Вместо шага дискретизации  вводят понятие частота дискретизации . .

Тогда теорема Котельникова формулируется следующим образом:

Если вещественный сигнал имеет конечную энергию и его двусторонний спектр ограничен , то возможна дискретизация сигнала во времени и точное восстановление сигнала, если:

1) 

2) 

Доказательство:

, т.е. . Если выбрать частоту дискретизации их этого условия, то тогда можно точно восстановить сигнал.

Докажем, что  нужно выбирать именно так.

Доказательство теоремы Котельникова выполним по Найквисту(на основе спектрально-инженерной трактовки этой теоремы).

Если , то

- финитный спектр исходного непрерывного сигнала, превращенный в периодически повторяющийся спектр на оси частот. Период повторения равен .