Геометрия космических полетов, страница 7

Рис. 5.8В дает более понятное представление. Все данные задачи нарисованы на небесной сфере единичного радиуса, в центре которой находится космический аппарат. На рисунке показан небесный экватор, плоскость орбиты и эклиптика (ecliptic) – проекция пути Солнца за год на сферу. Окружности, изображенные тонкой пунктирной линией, представляют собой диск Земли, видимой с космического аппарата, при движении центра Земли по орбите космического аппарата. Космический аппарат находится в тени Земли тогда, когда диск, изображающий Землю, проходит перед Солнцем. Окружность, изображенная пунктирной линией, с центром в полюсе орбиты, проведена по касательной к диску Земли. Любой объект, находящийся в этой окружности будет виден постоянно и не будет закрыт Землей. Эклиптика не проходит через эту окружность. Следовательно, для приведенной орбиты, теневые участки будут существовать на протяжении всего года. Т.е. не будет такого случая, когда на каком-либо витке космический аппарат не заходит в тень Земли. (Пока что мы не принимаем во внимание вращение орбиты космического аппарата под воздействием различных возмущающих сил. Такое вращение может усложнить зависимости, используемые для решения задач, но не меняет сам подход). Хотя рис. 5.8В и более нагляден, чем предыдущий, тем не менее, при таком представлении вычислять длительность теневых участков все равно неудобно.

На рис. 5.8С приведена та же задача, но в небесной системе координат, в центре которой находится космический аппарат, плоскость орбиты является экватором, а ось +Х постоянно направлена на Землю. В такой системе координат диск Земли неподвижен. На рисунке он представлен затененным кругом. Поскольку одна ось постоянно направлена на Землю, то система координат вращается в инерциальном пространстве вокруг полюса орбиты со скоростью 360° за виток. Таким образом, любой объект, который почти неподвижен в инерциальном пространстве, как, например, звезды, Солнце, или Луна в данной системе координат будет совершать один оборот вокруг полюса орбиты за виток. Толстая непрерывная линия изображает путь Солнца за один виток. С другой стороны, космический аппарат будет находиться в тени Земли каждый раз, когда Солнце будет находиться в затененной области. Теперь мы можем представить, что происходит в течение всего года, и можем вывести формулы для определения длительности теневых участков для любых исходных данных.

Рис. 5.8. Различные варианты представления космического аппарата на орбите высотой 1000 км и наклонением 32°.

На каждом отдельном витке орбиты Солнце будет двигаться по малому кругу и длительность теневого участка будет соответствовать части малого круга, которая лежит внутри затененной области. Для орбиты, представленной на рисунке, длительность теневого участка по азимуту составляет 113°. Следовательно, теневой участок будет длиться 113°/360°=32% от периода обращения космического аппарата на орбите, т.е. около 33 мин для орбиты с периодом 105 мин и высотой 1000 км [для определения периода орбиты см. формулу 7.7]. При движении Солнца по эклиптике в течение года, оно буде медленно перемещаться вверх и вниз по сфере. Угол между Солнцем и плоскостью орбиты b_S изменяется от максимального 55° над плоскостью орбиты до 55° под плоскостью орбиты. (55° – это сумма принятого наклонения 32° и угла 23° между плоскостью эклиптики и плоскостью экватора Земли). Очевидно, что теневые участки имеют максимальную длительность в том случае, когда Солнце находится в плоскости орбиты. В этом случае для рассматриваемой орбиты длительность теневого участка составляет 120°, или 35 мин. Также очевидно, что теневые участки имеют минимальную длительность в том случае, когда Солнце находится на максимальном удалении от плоскости орбиты. В этом случае для рассматриваемой орбиты длительность теневого участка составляет около 60°. Таким образом, теневой участок будет на каждом витке, при этом его минимальная продолжительность будет составлять примерно половину от максимальной продолжительности, т.е. 17 мин. Однако можно заметить, что теневые участки будут иметь минимальную продолжительность только когда Солнце будет находиться достаточно близко к точкам максимального удаления от плоскости орбиты. Большую часть времени длительность теневого участка будет близка к максимальной. Следовательно, если нам для анализа необходима средняя длительность теневого участка, мы должны взять величину, близкую к максимуму, а не какое-то среднее значение.