Геометрия космических полетов, страница 6

Поскольку сферические треугольники при стремлении их размеров к нулю близки плоским треугольникам и поскольку большинство исследователей лучше знакомы с планиметрией, они иногда используют в качестве приближения зависимости планиметрии даже тогда, когда эти приближения неверны. В качестве примера приведем геометрическую задачу, в которой рассматривается поверхность Земли, видимая из ближнего космоса. На рис. 5.7 на примере прямоугольного сферического треугольника с одним углом, равным 45°, приведены различия между планиметрией и сферической геометрией. В сферическом треугольнике и длина гипотенузы и угол при другой вершине являются функциями размеров треугольника. Для космического аппарата на геостационарной орбите видимый радиус Земли составляет 8,7° и, как видно из рис. 5.7, различие между плоским и сферическим представлениями составляет ~0,1°. Если при решении данной задачи такой величиной можно пренебречь, то можно пользоваться плоским приближением. Если же такая величина существенна для точности решения, пользуйтесь зависимостями сферической геометрии. На низких околоземных орбитах видимый угловой радиус Земли составляет от 60° до 70°, поэтому планиметрия дает не только неверные численные значения, но и принципиально неправильные результаты. Таким образом, мы должны избегать плоских приближений для космических аппаратов, находящихся на низких околоземных орбитах и при решении практически всех задач точного наведения.

Мы приведем два примеры решения задач на небесной сфере: длительность теневых участков на низкой круговой околоземной орбите и угол между гранью космического аппарата и направлением на Солнце. Вторая задача может возникнуть при определении освещенности космического аппарата Солнцем или при тепловом анализе. В обоих случаях, если мы правильно выберем систему координат, мы с помощью сферической геометрии сможем вывести необходимые формулы.*

Рис. 5.7. Последовательность прямоугольных сферических треугольников с углом при одной вершине 45°.

При увеличении сферических треугольников они все менее и менее напоминают плоские треугольники. В планиметрии y=x и А=45°. В сферической геометрии tgy=sinx×tg45° и cosA=cosx×sin45°

Пример 1. Анализ длительности теневых участков на низкой круговой околоземной орбиты

В первом примере спутник находится на низкой круговой околоземной орбите высотой Н и наклонением i. (Для примера мы возьмем Н=1000 км, i=32°). Нам необходимо определить длительность теневых участков для любого дня в году, а также максимальную длительность и минимальную длительность теневого участка. На рис. 5.8 представлены три различных варианта геометрического представления этой задачи. На рис. 5.8А мы нарисовали декартову систему координат, центр которой находится в центре Земли, и векторы на космический аппарат и Солнце. Хотя мы и можем использовать эту систему координат для решения поставленной задачи, но путь решения далеко не очевиден. Кроме того, чтобы использовать представление в декартовой системе координат без дополнительных исследований, нам придется рассчитывать движение космического аппарата по орбите и для определения продолжительности теневых участков на протяжении всего года придется брать большое количество расчетных точек.