Другие предметы \ Теория автоматического управления

Основы теории автоматического управления. Основные термины и определения, страница 10

Частное решение описывает вынужденное движение системы под действием входного сигнала при конкретном виде возмущения. Так как вид сигнала конкретный, поэтому решение частное.

С точки зрения устойчивости, , так как она описывает внутренние свойства, поэтому в теории управления принято называть свободной составляющей процесса

Y_общ(t)–свободная составляющая (или переходный процесс), т.е.:

Y_общ(t)=Y_{свобод.сост}.(t)=Y_{переход.пр}.(t);

Y_частн–вынужденная составляющая (или полезная составляющая– управляет внешними сигналами):

Y_частн(t)=Y_вынужд(t)=Y_полезн(t).

Устойчивое движение системы– движение, в котором предел свободной составляющей при t→∞ равен нулю.

Y_свобод(t)=0 (свободная составляющая затухает).

4.2 Общие условия устойчивости для линейных систем.

Проведем рассмотрения, к коэффициенту уравнения типа (*), которые вытекают из условия устойчивости.

Однородное дифференциальное уравнение в области изображении (в оперантном виде) при нулевом входном сигнале

^(А)

Такое однородное дифференциальное уравнение имеет в общем случае решение в следующем виде:

Y_свобод(t)=c₁e^δ¹⁽^t⁾+c₂e^δ²⁽^t⁾+…+c_ne^δn⁽^t⁾;

- постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий на и ее производные

δ₁, δ₂, δ_n – корни характеристического уравнения следующего вида:

a₀ δⁿ+a₁δⁿ^-1+…+a_n_-1δ¹+a_n=0 – характеристическое уравнение

δ_i=α (действительные корни);

Y_i_свобод=c_iе^δ^it=c_iе^αt; t– аргумент экспоненты.

Известно, что уравнение (***) имеет ровно n корней, где n – называют порядком системы

Так как - действительные, то корни могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными

Д.З. : если мы умеем составлять уравнения (А), умеем решать уравнения n – ой степени, мы можем сказать: будет ли сходиться (затухать) решение

Рассмотрим компоненты свободной составляющей, их вид зависит от корня характеристического уравнения. Пусть , тогда вид этой компоненты

α<0– затухание компонента свободной составляющей

α>0; Y_свобод=c_iе^αt

Можно утверждать, что система устойчива, если все i=1…n

За затухание i-ой компоненты ответственен е^α^t.

НО! Может существовать вырожденный случай, когда два корня компенсируют друг друга

Есть они дают взаимоуничтожающие решения

Это жесткие системы автоматического управления, которые могут существовать, но ограниченное время. С ростом времени из-за расхождения параметров системы рано или поздно одна из компонент забегает вперед, другая отстает. Такие системы используются для оборонной системы.

Вывод: при действительных корнях характеристического уравнения система устойчива тогда и только тогда, когда все корни находятся в левой полуплоскости

Рассмотрим комплексно-сопряженные корени

Таким корням будет соответствовать в силу комплексно-сопряженных и мнимые части по формуле Эйлера уничтожаются =. Синусоида определяется коэффициентом

α<0 α>0

определяет и обеспечивает затухание

Вывод: для комплексно-сопряженных корней верно то же утверждение: система устойчива тогда и только тогда и только тогда, когда корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости (если находятся справа, то система неустойчива).

Корни должны обозначаться парами

Общее условие устойчивости: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения были отрицательны. Иными словами, все корни характеристического уравнения должны находиться в левой полуплоскости.

Характеристическое уравнение подразумевается для замкнутой системы, так как структура никак не оговаривалась.

α=0– незатухающее колебание (система на грани устойчивости).

4.3 Алгебраический критерий устойчивости.

Методы, которые позволяют оценить устойчивость без решения характеристического уравнения.

Граничный случай , когда корни находятся на границе

Если

математически такая система может существовать, но в жизни это не так.

Алгебраический критерий Гурвица.

В 1895г. Немецким математиком А. Гурвица был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы. Смысл заключается в том, чтобы уменьшить вычислительную работу и сделать решаемой уравнения 3, 4 и 5го порядка

Определители Гурвица низшего порядка (диагональные миноры), выпишем их в явном виде:

всего таких миноров можно указать . На этой базе мы можем указать устойчивости

Критерий Гурвица: для того, чтобы система была устойчивой, все определители Гурвица должны быть >0, т.е.:

Пример система первого порядка:

Пример система второго порядка:

4.4 Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Этот частотный критерий устойчивости, разработанный в 1932г. Американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

Пусть имеется

X(t) y(t)