Именно эта математическая проблема оказалась причиной разработки различных приближенных методик. Сначала для получения решений использовались не дифференциальные уравнения, а нуль-мерная модель. В первом рассмотрении этой проблемы [16] не использовалось уравнение энергетического баланса и вместо уравнения Пуассона было принято условие электронейтральности плазмы. Габович и др. [17] пренебрегли уравнением непрерывности для электронов и также приняли условие электронейтральности, а Гамильтон [18] не учитывал влияние медленных ионов в плазме пучка. В каждой из этих нуль-мерных моделей пренебрегал ось одним из четырех фундаментальных процессов, и следовательно, ни одна из них не может считаться хорошей теорией для описания плазмы пучка. Данн и Селф [19] описали модель нейтрализации электронных пучков для того, чтобы создать одномерную модель для ионных пучков. В последней модели используется приближение однородной плотности ионного пучка и резкой границы пучка для упрощения одномерной модели; с ее помощью получены аналитические выражения для потенциала пучка φ, кратного электронной температуре кТ. Уравнение энергетического баланса не учитывается, так что электронная температура остается свободным параметром, что вынуждает получать решения в безразмерном виде. Хупер и др. [20] расширили возможности модели Данна и Селфа для рассмотрения гауссового профиля ионных пучков, также не учитывали уравнение энергетического баланса и ввели понятие ионного дрейфа в плазме пучка вместо свободного падения ионов, описанного Данном и Селфом. Грин [21] использовал интеграл свободного падения ионов для создания модели нейтрализации без учета уравнения энергетического баланса. Поскольку плазма обычно имеет низкую плотность, последняя модель более реалистична, хотя и вызывает значительно большие математические трудности для полного решения.
Холмс [22] использовал четыре основных уравнения, включая свободное падение ионов, чтобы описать модель плазмы пучка. Эта модель математически сложна, и требуются численные методы нахождения решения. Однако она дает удовлетворительное соответствие с экспериментом, а прежние результаты Клабунда и Шонлайна [23] показали соответствие с моделью после использования в ней эмпирически подобранного постоянного множителя порядка единицы.
4.3.2. Простая модель плазмы пучка положительных ионов
Чтобы избежать математических проблем одномерных моделей [19, 21, 22], мы представляем простую одномерную модель для плазмы, в которой сохраняется интеграл свободного падения ионов при движении ионов в отсутствие столкновений. Эта модель включает в себя уравнения непрерывности и энергетического баланса, а также условие нейтральности плазмы, что показывает физическую обоснован-ность такого подхода. Так как выражения, полученные здесь, более простые, чем приведенные выше, и к тому же подчиняются аналогичным законам масштабирования, они будут использоваться при выводе уравнения огибающей пучка в разд. 4.5.
Плазма пучка образуется при неупругих столкновениях между ионами пучка и остаточным газом. Для пучка положительных ионов эти процессы описываются выражениями
А+ + Х° → А0 + Х+(обмен зарядом),
А+ + Х° → А+ + Х+ + e-(ионизация), где А+ — ион исходного пучка и Х° — молекула газа. Подчеркивание означает быструю частицу. Очевидно, что медленных ионов создается больше, чем электронов, так как протекают оба процесса. Медленные положительные ионы выталкиваются из пучка радиальным электрическим полем, и при условии, что радиус пучка rо меньше, чем средняя длина свободного пробега при столкновениях ионов с молекулами нейтрального газа, т. е. 1/N0 где N— плотность нейтральных атомов, это движение может считаться свободным падением. Следовательно,
(63)
где 
— приращение плотности медленных
ионов при r, вызванное производством медленных ионов 
при 
. Интегрирование и подстановка
выражения
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.