Вопросы к коллоквиуму
1. Выпуклость графика функции 1
Определения
Пусть:
- f(x) определена на (a, b);
- в точке x0 € (a,b) Ĕ-т конечная производная f'(x0) (тогда в точке x0 Ĕ-т касательная, не параллельная оси Y).
Если Ĕ-т δ>0 такое, что для Ă x € (x0-δ; x0+δ)\x0 точка графика функции f(x) лежит ниже соответствующей точки касательной, то график функции f(x) в точке x0 имеет выпуклость вверх.
Если Ĕ-т δ>0 такое, что для Ă x € (x0-δ; x0+δ)\x0 точка графика функции f(x) лежит выше соответствующей точки касательной, то график функции f(x) в точке x0 имеет выпуклость вниз.
!!! границы отрезка – входят или нет !!!
Геометрический смысл второй производной 1
Теорема
Пусть:
- f(x) определена на (a, b);
- в точке x0 € (a,b) Ĕ-т конечная производная f''(x0) (предполагается, что в окрестности x0 и в самой x0 Ĕ-т f'(x)).
Тогда:
- если f''(x0) > 0, то [график функции] f(x) в точке x0 имеет выпуклость вниз;
- если f''(x0) < 0, то [график функции] в точке x0 имеет выпуклость вверх.
В доказательстве используется теорема Лагранжа.
2. Точки перегиба 1а
Определения
Пусть:
- f(x) определена на (a, b);
- в точке x0 € (a,b) график функции f(x) имеет касательную;
- Ĕ-т δ>0 такое, что для Ă x € (x0+δ) точки графика функции f(x) лежат по одну сторону от касательной, для Ă x € (x0-δ) точки графика функции f(x) лежат по другую сторону от касательной. В этом случае точка x0 называется точкой перегиба [графика] функции f(x).
!!! границы отрезка – входят или нет !!!
Теорема
Пусть:
- f(x) определена на (a, b);
- в точке x0 € (a,b) Ĕ-т конечная производная f'(x0);
- в окрестности δ точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0, Ĕ-т [конечная] производная f''(x) [более строгий вариант записи условия: Ĕ-т δ>0 такое, что для Ă x € (x0-δ; x0+δ)\x0 Ĕ-т [конечная] производная f''(x)].
Тогда:
- если в (x0-δ, x0) и (x0, x0+δ) f''(x) имеет разные знаки, то точка x0 является точкой перегиба;
- если в (x0-δ; x0+δ)\x0 f''(x) имеет один и тот же знак, то точка x0 не является точкой перегиба.
В доказательстве используется теорема Лагранжа.
3. Асимптоты графика функции 2
Определение 1
Пусть f(x) определена на [a, +∞). Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции f(x) при x -> +∞, если lim (f(x) – kx – b) = 0 при x -> +∞. При k = 0 асимптота называется горизонтальной, при k ≠ 0 асимтота называется наклонной.
Определение 2
Пусть f(x) определена на (-∞, a]. Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции f(x) при x -> -∞, если lim (f(x) – kx – b) = 0 при x -> -∞. При k = 0 асимптота называется горизонтальной, при k ≠ 0 асимтота называется наклонной.
Определение 3
Пусть f(x) определена в окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки а (или в одной из полуокрестностей точки a). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x) в точке а, если справедливо хотя бы одно из соотношений:
- lim f(x) = ∞ при x -> a+ [∞ любого знака; f(x) должна быть определена именно в этой полуокрестности точки a];
- lim f(x) = ∞ при x -> a- [∞ любого знака; f(x) должна быть определена именно в этой полуокрестности точки a].
Теорема 1
Пусть f(x) определена на [a, +∞). Для того, чтобы прямая была асимптотой графика функции f(x) при x -> +∞, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись соотношения:
- lim f(x)/x = k при x -> +∞;
- lim (f(x) – kx) = b при x -> +∞.
Теорема 2 (аналог Теоремы 1)
Пусть f(x) определена на (-∞, a]. Для того, чтобы прямая была асимптотой графика функции f(x) при x -> -∞, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись соотношения:
- lim f(x)/x = k при x -> -∞;
- lim (f(x) – kx) = b при x -> -∞.
!!! границы отрезка – входят или нет !!!
4. Понятие комплексного числа 3
Определение комплексного числа
Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел x и y. Первое из них x называется действительной частью комплексного числа z и обобзначается Rez, x = Rez; второе число y называется мнимой частью частью комплексного числа z и обобзначается Imz, y = Imz.
Определение равенства комплексных чисел
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: z1 = z2 ó Re z1 = Re z2 и Im z1 = Im z2.
Вещественное число – частный случай комплексного: у вещественного Imz = 0
Формы записи комплексного числа и геометрическая интерпретация 3, 3а
Формы: алгебраическая и тригонометрическая
Алгебраическая форма
В алгебраической форме комплексное число z представляется в виде выражения x + iy (i – мнимая единица).
Для комплексного числа z = x + iy комплексно сопряженным называется комплексное число ─z = x – iy.
Тригонометрическая форма
Если x и y - декартовы координаты точки плоскости, то, перейдя на плоскости к полярным координатам (r, φ) и воспользовавшись соотношением x = rcosφ, y = rsinφ, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа: z = r (cosφ + isinφ). При этом число r называют модулем комплексного числа, |z| = r, а число φ - аргументом комплексного числа.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
