Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 5

Тогда сумма s_τ = Σ_k=1^kτm_{k *}Δ_k называется нижней суммой Дарбу, а сумма S_τ = Σ_k=1^kτM_{k *}Δ_k –верхней суммой Дарбу функции f(x) на [a, b] для разбиения τ.

Свойства сумм Дарбу 15

1. Для Ă разбиений τ₁ и τ₂ отрезка [a, b] s_τ1 ≤ S_τ2
2. s_τ  = inf σ_τ(f, ξ_{1, …,} ξ_kτ) {ξ_{1, …,} ξ_kτ}       [нижняя сумма Дарбу и интегральная сумма Римана]

S_τ = sup σ_τ(f, ξ_{1, …,} ξ_kτ) {ξ_{1, …,} ξ_kτ}      [верхняя сумма Дарбу и интегральная сумма Римана]

3. I_* ≤ I^*, где (определение):

I_* = sup_τ s_τ – нижний интеграл f(x) на [a, b]

I^* = inf_τ S_τ – верхний интеграл f(x) на [a, b]         

22.  Необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной функции 16

Теорема (ОСНОВНОЙ ПРИЗНАК ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ)

Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [a, b]. Для того, чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы lim |S_τ - s_τ| = 0 при |τ| -> 0.

23.  Интегрируемость непрерывной функции 16а

Теорема

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на отрезке [a, b].

В доказательстве используется 1-ая теорема Вейерштрасса и теорема Кантора.

24.  Интегрируемость монотонной функции 17

Теорема

Если функция f(x) монотонна на отрезке [a, b], то она интегрируема на отрезке [a, b].

Экзаменационные вопросы

1.  Свойства определенного интеграла 14

·  интегрируемость на подмножестве 17

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и отрезок [a₁, b₁] Ì [a, b]. Тогда функция f(x) интегрируема на отрезке [a₁, b₁]

·  аддитивность относительно промежутка интегрирования 17а

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и a < c < b.

Тогда ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx

·  линейность интеграла относительно функции 18

Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b], l, m Î R.

Тогда ∫_a^b(lf(x) + mg(x))dx = l∫_a^bf(x)dx + m∫_a^bg(x)dx

·  ∫_a^bdx = b – a 18

2.  Монотонность определенного интеграла относительно подынтегральной функции 17 (свойство 5)

Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b] и f(x) ³ g(x) для xÎ[a, b].

Тогда ∫_a^bf(x)dx ³ ∫_a^bg(x)dx

3.  Интегрируемость произведения интегрируемых функций 18а

Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b]. Тогда функция f(x)_*g(x) тоже интегрируема  на отрезке [a, b].

4.  Интегрируемость |f(x)| 18

Неравенство |∫_a^bf(x)dx| £ ∫_a^b|f(x)|dx 18

Теорема

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то:

1)  |f(x)| тоже интегрируема на отрезке [a, b] [модуль тоже интегрируем]

2)  |∫_a^bf(x)dx| £ ∫_a^b|f(x)|dx [модуль интеграла НЕ БОЛЬШЕ интеграла от модуля]

5.  Непрерывность интеграла по верхнему пределу интегрирования 18а

Определение

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Тогда для xÎ[a, b] можно определить функции F(x) = ∫_a^xf(t)dt и G(x) = ∫_x^bf(t)dt. Функция F(x) называется интегралом с переменным ВЕРХНИМ пределом интегрирования, а функция G(x) - интегралом с переменным НИЖНИМ пределом интегрирования

Теорема

Интеграл с переменным ВЕРХНИМ пределом интегрирования непрерывен на отрезке [a, b].

??? ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ???

6.  Интегральная теорема о среднем 19

Теорема

Пусть:

1)  функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b]

2)  $ m и M, такие что "x Î[a, b] выполняется неравенство: m £ f(x) £ M (ограниченность f(x))

3)  g(x) ³ 0 (или g(x) £ 0) на отрезке [a, b] [т.е. не меняет знак]

Тогда $ m Î[m, M], такое, что ∫_a^bf(x)_*g(x)dx = m∫_a^bg(x)dx

Следствие из теоремы

Пусть дополнительно функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда $ с Î[a, b], такое, что ∫_a^bf(x)_*g(x)dx = f(c)∫_a^bg(x)dx

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и функция g(x) = 1, то ∫_a^bf(x)_*g(x)dx = f(c)(b-a)

В доказательстве используется 2-ая теорема Вейерштрасса.

7.  Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом интегрирования 19а

Теорема

Пусть:

1)  функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]