Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 3

Определения

Дробно-рациональной функцией называется выражение вида P(z)/Q(z), где P(z) и Q(z) – многочлены. Если степень P(z) < Q(z), то это выражение называется правильной дробью. Если степень P(z) > Q(z), то это выражение называется неправильной дробью.

??? А если степени = ???

Лемма

Пусть:

- P(z)/Q(z) – правильная дробь;

- z₀ - корень кратности k многочлена Q(z): Q(z) = (z-z₀)^k_*Q₁(z), Q₁(z₀) ≠ 0

Тогда Ĕ-т такие комплексное число А и комплексный многочлен P₁(z), что

P(z)/Q(z) = A/(z-z₀)^k + (P(z) – A*Q₁(z))/(z-z₀)^k _*Q₁(z)

Теорема

- P(z)/Q(z) – правильная дробь:

- z_i (i = 1… l) - корни кратности k_i многочлена Q(z): Q(z) = (z-z₁)^k1_*(z-z₂)^k2_*…*(z-z_l)^kl

Тогда P(z)/Q(z) может быть представлена в виде …6а [внешняя сумма – по количеству корней – индекс суммирования j = 1 до l, внутренняя – по кратности каждого корня – т.е. от k_j до 1]

8.  Разложение в сумму простейших дробей правильной рациональной дроби (вещественной): лемма и теорема 6а, 7

Лемма 6а

Пусть:

- P(x)/Q(x) – правильная дробь, P(x) и Q(x) – вещественные многочлены;

- Q(x) = (x² + px + q)^m_*Q₁(x), где x² + px + q = (x – z0)*(x - ^─z₀), z_{0 =} x₀ +iy₀, y₀ ≠ 0, Q₁(z₀) ≠ 0

Тогда Ĕ-т такие вещественные числа B и C и вещественный многочлен P₁(x), что

P(x)/Q(x) = Bx + C/(x² + px + q)^m + P₁(x)/(x² + px + q)^m_*Q₁(x)

Теорема 7

- P(x)/Q(x) – правильная дробь:

- Q(x) = (x-x₁)^k1_*…*(x-x_l)^kl_*(x² + p₁x + q₁)^m1_*…_*(x² + p_Lx + q_L)^mL, p_j² – 4q_j < 0, j = 0, 1, …, L;

x_i (i = 1… l) - корни кратности k_i многочлена Q(x)

Тогда P(z)/Q(z) может быть представлена в виде …7а

[Две суммы:

Сумма 1: внешняя сумма – по количеству корней – индекс суммирования j = 1 до l, внутренняя – по кратности каждого корня – т.е. от k_j до 1]

Сумма 2: внешняя сумма – по количеству разных (x² + p₁x + q₁) – индекс суммирования j = 1 до L, внутренняя – по кратности каждого (x² + p₁x + q₁) – т.е. от m_j до 1]

9.  Первообразная 8

Определение первообразной

Пусть:

- функция f(x): [a, b] -> 1R

- функция F(x): [a, b] -> 1R и дифференцируема на [a, b]

Если Ăx € [a,b] F'(x) = f(x), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на [a, b].

В определении используется понятие о дифференцируемости функции.

Теорема

Пусть:

- функции f₁(x), f₂(x): [a, b] -> 1R

- функции F₁(x), F₂(x): [a, b] -> 1R и дифференцируемы на [a, b]

Функции F₁(x) и F₂(x) являются первообразными одной и той же функции f(x) на [a, b] тогда и только тогда, когда F₁(x) - F₂(x) = const на [a, b].

Неопределенный интеграл 8

Определение неопределенного интеграла

Пусть:

- функция f(x): [a, b] -> 1R

Неопределенным интегралом f(x) на [a, b] называется множество всех первообразных функций f(x) на [a, b].

∫f(x)dx = F(x) + C, где F(x) – некоторая первообразная

Свойства неопределенного интеграла 8а

- интеграл от дифференциала

- дифференциал от интеграла

- интеграл суммы функций

- интеграл от произведения функции на константу

10.  Замена переменной в неопределенном интеграле 9

Теорема

Пусть:

- функция f(x): [a, b] -> 1R

- функция F(x) – первообразная функции f(x) на [a, b]

- функция φ(x): [c, d] -> [a, b] и φ(x) дифференциреума на [c, d]

Тогда Ĕ-т ∫f(φ(t))φ'(t)dt = F(φ(t)) + C, т.е. ∫f(φ(t))φ'(t)dt = ∫f(x)dx_|x=φ(t).

11.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Ф31

Пусть u = f(x) и v = g(x) имеют непрерывные производные u' = f'(x) и v' = g'(x).

Тогда ∫udv = u_*v - ∫vdu.

12.  Интегрирование дробно-рациональной функции 9а, 10

Теорема

Всякая дробно-рациональная на любом промежутке, где она определена, имеет первообразную, которая выражается через элементарные функции.

13.  Интегрирование функций, содержащих иррациональности 10а

Определение

Обобщенным многочленом от нескольких переменных P(u₁, …, u_n) называется линейная комбинация слагаемых вида u₁^k1, …, u_n^kn, где k1, …, kn € 1N.

Определение

Рациональной функцией от нескольких переменных называется выражение вида