Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 3

Определения

Дробно-рациональной функцией называется выражение вида P(z)/Q(z), где P(z) и Q(z) – многочлены. Если степень P(z) < Q(z), то это выражение называется правильной дробью. Если степень P(z) > Q(z), то это выражение называется неправильной дробью.

??? А если степени = ???

Лемма

Пусть:

- P(z)/Q(z) – правильная дробь;

- z0 - корень кратности k многочлена Q(z): Q(z) = (z-z0)k*Q1(z), Q1(z0) ≠ 0

Тогда Ĕ-т такие комплексное число А и комплексный многочлен P1(z), что

P(z)/Q(z) = A/(z-z0)k + (P(z) – A*Q1(z))/(z-z0)k *Q1(z)

Теорема

- P(z)/Q(z) – правильная дробь:

- zi (i = 1… l) - корни кратности ki многочлена Q(z): Q(z) = (z-z1)k1*(z-z2)k2*…*(z-zl)kl

Тогда P(z)/Q(z) может быть представлена в виде …6а [внешняя сумма – по количеству корней – индекс суммирования j = 1 до l, внутренняя – по кратности каждого корня – т.е. от kj до 1]

8.  Разложение в сумму простейших дробей правильной рациональной дроби (вещественной): лемма и теорема 6а, 7

Лемма 6а

Пусть:

- P(x)/Q(x) – правильная дробь, P(x) и Q(x) – вещественные многочлены;

- Q(x) = (x2 + px + q)m*Q1(x), где x2 + px + q = (x – z0)*(x - z0), z0 = x0 +iy0, y0 ≠ 0, Q1(z0) ≠ 0

Тогда Ĕ-т такие вещественные числа B и C и вещественный многочлен P1(x), что

P(x)/Q(x) = Bx + C/(x2 + px + q)m + P1(x)/(x2 + px + q)m*Q1(x)

Теорема 7

- P(x)/Q(x) – правильная дробь:

- Q(x) = (x-x1)k1*…*(x-xl)kl*(x2 + p1x + q1)m1**(x2 + pLx + qL)mL, pj2 – 4qj < 0, j = 0, 1, …, L;

xi (i = 1… l) - корни кратности ki многочлена Q(x)

Тогда P(z)/Q(z) может быть представлена в виде …7а

[Две суммы:

Сумма 1: внешняя сумма – по количеству корней – индекс суммирования j = 1 до l, внутренняя – по кратности каждого корня – т.е. от kj до 1]

Сумма 2: внешняя сумма – по количеству разных (x2 + p1x + q1) – индекс суммирования j = 1 до L, внутренняя – по кратности каждого (x2 + p1x + q1) – т.е. от mj до 1]

9.  Первообразная 8

Определение первообразной

Пусть:

- функция f(x): [a, b] -> 1R

- функция F(x): [a, b] -> 1R и дифференцируема на [a, b]

Если Ăx € [a,b] F'(x) = f(x), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на [a, b].

В определении используется понятие о дифференцируемости функции.

Теорема

Пусть:

- функции f1(x), f2(x): [a, b] -> 1R

- функции F1(x), F2(x): [a, b] -> 1R и дифференцируемы на [a, b]

Функции F1(x) и F2(x) являются первообразными одной и той же функции f(x) на [a, b] тогда и только тогда, когда F1(x) - F2(x) = const на [a, b].

Неопределенный интеграл 8

Определение неопределенного интеграла

Пусть:

- функция f(x): [a, b] -> 1R

Неопределенным интегралом f(x) на [a, b] называется множество всех первообразных функций f(x) на [a, b].

∫f(x)dx = F(x) + C, где F(x) – некоторая первообразная

Свойства неопределенного интеграла 8а

- интеграл от дифференциала

- дифференциал от интеграла

- интеграл суммы функций

- интеграл от произведения функции на константу

10.  Замена переменной в неопределенном интеграле 9

Теорема

Пусть:

- функция f(x): [a, b] -> 1R

- функция F(x) – первообразная функции f(x) на [a, b]

- функция φ(x): [c, d] -> [a, b] и φ(x) дифференциреума на [c, d]

Тогда Ĕ-т ∫f(φ(t))φ'(t)dt = F(φ(t)) + C, т.е. ∫f(φ(t))φ'(t)dt = ∫f(x)dx|x=φ(t).

11.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Ф31

Пусть u = f(x) и v = g(x) имеют непрерывные производные u' = f'(x) и v' = g'(x).

Тогда ∫udv = u*v - ∫vdu.

12.  Интегрирование дробно-рациональной функции 9а, 10

Теорема

Всякая дробно-рациональная на любом промежутке, где она определена, имеет первообразную, которая выражается через элементарные функции.

13.  Интегрирование функций, содержащих иррациональности 10а

Определение

Обобщенным многочленом от нескольких переменных P(u1, …, un) называется линейная комбинация слагаемых вида u1k1, …, unkn, где k1, …, kn € 1N.

Определение

Рациональной функцией от нескольких переменных называется выражение вида