Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 6

2)  функции F(x) = ∫_a^xf(t)dt и G(x) = ∫_x^bf(t)dt. - интегралы с переменным ВЕРХНИМ и НИЖНИМ пределом интегрирования.

3)  функция f(x) непрерывна в точке x₁Î[a, b]

Тогда F(x) дифференцируема в точке x₁ и F'(x₁) = f(x₁)

Следствие

При выполнении условий теоремы G'(x₁) = -f(x₁)

8.  Первообразная 20

Существование первообразной непрерывной функции 20

Теорема

Если функция f(x) интегрируема [??? Ф116: f(x) – непрерывна, в формулировке вопроса – тоже для непрерывной функции ???] на отрезке [a, b], то она имеет на отрезке [a, b] первообразную F(x) следующего вида:

F(x) = ∫_x0^xf(t)dt, где x₀ – любая точка Î[a, b]

Следствие

При выполнении условий теоремы ∫f(x)dx = ∫_x0^xf(t)dt + C, где x₀ – любая точка Î[a, b]

Формула Ньютона-Лейбница [основная формула интегрального исчисления] 20а

Теорема

Пусть:

1)  функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]

2)  функция F(x) – первообразная f(x) – непрерывна на отрезке [a, b] [??? надо ли в условие включать непрерывность первообразной: Ф115: Если f(x) интегрируема на [a, b], то

F(x) = ∫_a^xf(t)dt будет непрерывной функцией от x в этом же промежутке. У нас из непрерывности следует интегрируемость, тогда применима Ф115. Правда, в условии теоремы не говорится, чему именно равна первообразная ???]

Тогда ∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)

Примечание

??? Можно показать, что формула верна для кусочно-непрерывной f(x) и непрерывной F(x) ???

9.  Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле 20а

Теорема о замене переменной в определенном интеграле

Пусть:

1)  функция f(x): [a, b]->R и непрерывна на отрезке [a, b]

2)  функция j(t):

-  j(t): [c, d]-> [a, b]

-  для a, bÎ[c, d] и a < b:

·  j'(t) непрерывна на [a,b]

·  j(a) = a, j(b) = b

Тогда:

∫_a^bf(x)dx = ∫_a^bf(j(t)) j'(t)dt

Теорема об интегрировании по частям определенного интеграла

Пусть функции u(x) и v(x) определены на отрезке [a, b], непрерывны и имеют непрерывные производные u'(x) и v'(x) на отрезке [a, b].

Тогда ∫_a^budv = u*v|_a^b - ∫_a^bvdu

10.  Обобщенные понятия площади и объема 21

При выводе формулы площади используется теорема о $ - нии конечного предела последовательности, которая возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу) I 38а

Определение площади (объема)

Если пределы (1) и (2) равны одному и тому же числу, то это число называется площадью (объемом) множества X (для объема рассматривается множество точек в пространстве) и обозначается mX (mX).

Утверждение

Пусть X₁ и X₂ – ограниченные [в соответствии с 21: X является подмножеством квадрата с конечной стороной] измеримые множества [??? не следует ли ограниченность из измеримости ???], причем X₁ Ì X₂. Тогда mX₁ £ mX₂.

11.  Площадь криволинейной трапеции 22

Определение криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется множество P точек на плоскости в координатах X, Y, задаваемое следующим образом:

P = {(x, y) | a £ x £ b; 0 £ y £ f(x)}, где функция f(x) ³ 0 на [a, b]

Теорема

Пусть функция f(x) на [a, b] непрерывна и f(x) ³ 0 для x Î [a, b].

Тогда площадь mP криволинейной трапеции, задаваемой функцей f(x) на [a, b], mP = ∫_a^bf(x)dx.

В доказательстве используется 2-ая теорема Вейерштрасса.

Замечание

При f(x) £ 0 на [a, b] mP = -∫_a^bf(x)dx.

12.  Площадь криволинейного сектора (в полярных координатах) 23

Определение криволинейного сектора в полярной системе координат

Криволинейным сектором в полярной системе координат называется множество P точек на плоскости в координатах R, J, задаваемое следующим образом:

P = {(r, j) | a £ j £ b; 0 £ r £ r(j)}, где функция r(j) ³ 0 на [a, b]

Теорема

Пусть функция r(j) на [a, b] непрерывна и r(j) ³ 0 для j Î [a, b].

Тогда площадь mS криволинейного сектора, задаваемой функцей r(j) на [a, b] в полярной системе координат, mS = 1/2∫_a^br²(j)dj.

В доказательстве используется 2-ая теорема Вейерштрасса.

13.  Длина кривой 23а

Определение длины кривой