Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 7

Если $ - т конечный lim l_l при |l| -> 0, не зависящий от выбора точек ломаных [на кривой AB], то он называется длиной кривой AB и обозначается l(AB). Кривая AB в этом случае [$ - т конечный lim l_l при |l| -> 0] называется спрямляемой кривой.

Теорема

Пусть кривая AB задана параметрически: x = j(t), y = y(t), t Î [a, b]. Функции j(t) и y(t) непрерывно дифференцируемы на [a, b].

Тогда

l_AB = ∫_a^bSQRT[(j'(t))² + (j'(t))²]dt

Лемма

|SQRT(N) - SQRT(M)| £ SQRT(|N – M|)

В доказательстве теоремы используется теорема Кантора.

Следствие теоремы

Если кривая задана явным уравнение в прямоугольных координатах, т.е. y = f(x), где функция f(x) – непрерывно дифференцируема на [a, b], то длина графика этой функции от точки (a, f(a)) до точки (b, f(b)) вычисляется по формуле: l = ∫_a^bSQRT[1 + (f'(x))²]dx

Замечание

Длина кривой, заданной параметрически в пространстве: x = j(t), y = y(t), z = c(t), t Î [a, b]:

l_AB = ∫_a^bSQRT[(j'(t))² + (j'(t))² + (c'(t))²]dt

14.  Площадь поверхности вращения 25а

Определение площади поверхности вращения

Площадью поверхности вращения называется lim S_t при |t| -> 0 [??? всегда $ - т ???]

Теорема

Пусть функция f(x) – непрерывно дифференцируема на [a, b] и f(x) ³ 0 на [a, b]. Тогда площадь поверхности вращения S, полученной вращением графика функции f(x) вокруг оси x, равна

S = 2p∫_a^bf(x)_*SQRT[1 + (f'(x))²]dx

15.  Объем тела вращения 27

Определение тела вращения

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b] и f(x) ³ 0 на [a, b].

Тогда P = {(x, y) | a £ x £ b; 0 £ y £ f(x)}, где функция f(x) ³ 0 на [a, b] - криволинейная трапеция.

Тело вращения – тело, полученное при вращении криволинейной трапеции P вокруг оси X.

Теорема

Объем тела вращения, полученного в соответствии с определением, = p∫_a^bf²(x) dx

16.  Определения разных типов несобственных интегралов 28-29а

Понятие ОПРЕДЕЛЕННОГО интеграла было введено для конечного промежутка [a, b] и ограниченной функции f(x), определенной на ВСЕМ промежутке. Понятие НЕСОБСТВЕННОГО интеграла является обобщением понятия определенного интеграла на:

1)  функция f(x) определена не на всем промежутке (не определена на границе промежутка)

2)  промежуток является бесконечным

3)  функция f(x) не является ограниченной на промежутке интегрирования

Определение 1

Пусть f(x):

1.  определена на [a, b) [!!! f(x) не определена на ПРАВОЙ границе !!!]

2.  интегрируема на отрезке [a, h] для "h: a £  h < b

Тогда lim ∫_a^hf(x)dx при h -> b [или h -> b^- !!! сравни с определением 2] называется несобственным интегралом функции f(x) от a до b (несобственным интегралом типа 1), при этом значение интеграла равно значению предела.

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл типа 1называется сходящимся, а если не $-т или равен ¥, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Обычно несобственные интегралы по определению 1 рассматриваются в следующих случаях:

1)  b = +¥

2)  f(x) не ограничена при значении x сколь угодно близком к b

Замечание

Если f(x) интегрируема на [a, b] !!! тогда f(x) определена на [a, b]!!!, то, в силу непрерывности интеграла с переменным верхним пределом интегрирования (18а)

lim ∫_a^hf(x)dx при h -> b = ∫_a^bf(x)dx – т.е. обычный ("собственный") интеграл

Утверждение

Пусть f(x):

1.  определена на [a, b)

2.  интегрируема на отрезке [a, h] для "h: a £  h < b

Тогда для "c: a < c < b:

1)  если ∫_a^bf(x)dx – сходится, то и ∫_с^bf(x)dx  – сходится , и наоборот

2)  в случае сходимости интегралов значение ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^сf(x)dx + ∫_с^bf(x)dx

 Определение 2

Пусть f(x):

1.  определена на (a, b] [!!! f(x) не определена на ЛЕВОЙ границе !!!]

2.  интегрируема на отрезке [x, b] для "x: a < x £ b

Тогда lim ∫_h^bf(x)dx при x -> a⁺ называется несобственным интегралом функции f(x) от a до b (несобственным интегралом типа 2), при этом значение интеграла равно значению предела.