Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 9

·  интегрирование по частям 31

Теорема

Пусть функции u(x) и v(x) определены на отрезке [a, b), непрерывны и имеют непрерывные производные u'(x) и v'(x) на отрезке [a, b).

Тогда ∫_a^budv = u*v|_a^b - ∫_a^bvdu [Ф602: , если под двойной подстановкой понимать разность

lim x->b u(x)*v(x) – u(a)*v(a)]

·  линейность 31а

Пусть функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a, b), l, m Î R.

Пусть ∫_a^bf(x)dx и ∫_a^bg(x)dx – сходятся на [a, b).

Тогда сходится ∫_a^b(lf(x) + mg(x))dx  и его значение = l∫_a^bf(x)dx + m∫_a^bg(x)dx

18.  Первый признак сравнения для несобственных интегралов неотрицательных функций (с леммой) 31а, 32

Лемма

Пусть:

1.  Функция f(x):

·  определена и ³ 0 на [a, b)

·  f(x) интегрируема на отрезке [a, h] для "h: a £  h < b

2.  Функция Ф(h) = ∫_a^hf(x)dx

Тогда если ∫_a^bf(x)dx – сходится, то функция Ф(h) ограничена сверху на [a, b), и наоборот

Теорема (1-ый признак сравнения) [используется для определения сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций]

Пусть:

1.  Функции f(x) и g(x):

·  определены на [a, b), причем 0 £ f(x) £ g(x) на [a, b)

·  f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, h] для "h: a £  h < b

Тогда:

1)  если ∫_a^bg(x)dx – сходится, то ∫_a^bf(x)dx – сходится

2)  если ∫_a^bf(x)dx – расходится, то ∫_a^bg(x)dx – расходится

19.  Второй признак сравнения несобственных интегралов неотрицательных функций 32

Пусть:

1.  Функции f(x) и g(x) определены на [a, b), причем f(x) ³ 0, g(x) > 0 на [a, b)

2.  $-т lim f(x)/g(x) = K при x->b^-

Тогда:

1.  если 0 £ K < ¥ и ∫_a^bg(x)dx – сходится, то ∫_a^bf(x)dx – сходится

2.  если 0 £ K < ¥ и если ∫_a^bg(x)dx – расходится, то ∫_a^bf(x)dx – расходится

20.  Критерий Коши сходимости несобственных интегралов (формулировка) 33

Критерий Коши

Несобственный интеграл ∫_a^bf(x)dx сходится ó "e > 0 $b₁Î [a, b), такое, что "h₁, h₂ Î [b₁, b) выполняется условие:

|∫_h1^h2f(x)dx| < e

Абсолютная сходимость 33, 33а, 34

Определение

∫_a^bf(x)dx – абсолютно сходится, если сходится ∫_a^b|f(x)|dx

Теорема

Если несобственный интеграл ∫_a^bf(x)dx абсолютно сходится, то он сходится.

Замечание

Обратное утверждение НЕВЕРНО, т.е. из сходимости не следует абсолютная сходимость.

Пример [абсолютной сходимости] 33а

∫₁^+¥sin(x)/xdx – сходится, но не абсолютно

[??? нужен ли пример абсолютной сходимости ???]

Утверждение

Пусть несобственный интеграл ∫_a^bf(x)dx абсолютно сходится на [a, b), а g(x) ограничена на [a, b). Тогда ∫_a^bf(x)_*g(x)dx абсолютно сходится на [a, b)

21.  Числовой ряд, его сходимость 34

Определение числового ряда и членов ряда

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел:

{a_n}_n=1^¥ = a₁, a₂, …, a_n, …

Составленное из этих чисел выражение

a₁ + a₂ + …+ a_n + …, которое с помощью знака суммы записывается в виде

S_n=1^¥a_n

называется бесконечным рядом, а сами числа a₁, a₂, …, a_n, … - членами ряда.

Определение частичной (частной) суммы или отрезка числового ряда

n-ой частичной (частной) суммой или n-ым отрезком числового ряда S_n=1^¥a_n называется конечная сумма n первых членов ряда S_n = S_k=1ⁿa_k.

Замечание

{a_n}_n=1^¥ и {S_n}_n=1^¥ однозначно определяют одна другую.

Определение сходимости и суммы числового ряда

Рассмотрим бесконечную последовательность частичных сумм для числового ряда {S_n}_n=1^¥.

Если $-т конечный или бесконечный предел S = lim S_n при n->¥, то он называется суммой ряда, что записывают в виде S = S_n=1^¥a_n. Если предел конечный, то ряд называется сходящимся. Если предел не существует или является бесконечным, то ряд называется расходящимся.

[??? в конспекте не определяется понятие суммы ряда при бесконечном пределе ???]

Необходимое условие сходимости 34а

Теорема

Если ряд S_k=1^¥a_k – сходится, то a_k -> 0 при k -> ¥.

Критерий Коши сходимости ряда (формулировка) 35

Ряд S_k=1^¥a_k – сходится ó "e > 0 $NÎ1N такое, что для "n³N и "p³0 выполняется неравенство |a_n+1 + a_n+2 + …+ a_n+p| < e