Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 11

Если ряд S_k=1^¥a_k сходится абсолютно, то он сходится

28.  Признаки сходимости Дирихле и Абеля 39

Признак сходимости Дирихле

Рассмотрим ряд S_k=1^¥a_kb_k, где {a_k}_k=1^¥ и {b_k}_k=1^¥ - последовательности вещественных чисел.

Пусть:

1)  последовательность {a_k}_k=1^¥ - монотонная и ограниченная

2)  ряд S_k=1^¥b_k сходится

Тогда ряд S_k=1^¥a_kb_k сходится.

Признак сходимости Абеля

Рассмотрим ряд S_k=1^¥a_kb_k, где {a_k}_k=1^¥ и {b_k}_k=1^¥ - последовательности вещественных чисел.

Пусть:

1.  последовательность {a_k}_k=1^¥ стремятся к 0: lim a_k = 0 при k->¥

2.  частичные суммы ряда S_nB = S_k=1ⁿb_k ограничены в совокупности, т.е. "n S_nB £ B

Тогда ряд S_k=1^¥a_kb_k сходится.

29.  Функциональные последовательности и ряды:

·  основные определения

v Определение функциональной последовательности (ФП) 40

Пусть множество X Ì R. Определим для "n Î 1N функцию f_n(x) с областью определения X. Тогда функциональной последовательностью, заданной на множестве X, называется бесконечная последовательность f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), …, . ФП записывается в следующем виде:

{f_n(x)}_n=1^+¥

v Определение сходимость ФП в точке 40

Пусть на множестве X задана ФП {f_n(x)}_n=1^+¥. При x = x₀ Î X ФП становится числовой последовательностью ЧП {f_n(x₀)}_n=1^+¥. Если эта ЧП сходится [!!! сходимость ЧП – см. I38 !!!], то ФП называется сходящейся в точке x₀.

v Определение сходимость ФП на множестве 40

Пусть на множестве X задана ФП {f_n(x)}_n=1^+¥. Если ФП сходится во всех точках множества X, то ФП называется на множестве X.

v Определение предельной функции (предела) ФП 40

Пусть ФП {f_n(x)}_n=1^+¥ сходится во всех точках множества X. Это означает, что для всех точек множества X $-т конечный lim f_n(x) при n->¥, т.е. каждой точке множества X может быть поставлено в соответствие число, равное конечному lim f_n(x) при n->¥ =>

Т.е. можно рассмотреть функцию f(x) с областью определения X и областью значений, равной конечным lim f_n(x) при n->¥. Эта функция называется предельной функцией (пределом) и обозначается следующим образом:

f(x) = lim f_n(x) при n->¥.

v Определение функционального ряда (ФР) 40а

Пусть на множестве X задана ФП {f_n(x)}_n=1^+¥.

Тогда функциональным рядом называется выражение

S_k=1^¥ f_k(x) = f₁(x) + f₂(x) + … + f_n(x) + … .

ФР является совокупностью ЧР для всевозможных x Î X.

v Определение частичной суммы ФР 40а

Пусть задан ФР S_k=1^¥ f_k(x). Тогда n-ой частичной (частной) суммой ФР называется сумма n первых членов ряда S_n = S_k=1ⁿf_k(x).

Определение последовательности частичных сумм ФР 40a

Пусть задан ФР S_k=1^¥f_k(x). Тогда последовательностью частичных сумм ФР называется последовательность S₁,S₂, …,S_n, …, которая обозначается {S_n(x)}_n=1^+¥.

v Определение сходимости ФР в точке 40а

Пусть задан ФР S_k=1^¥f_k(x). При x = x₀ Î X ФР становится числовым рядом S_k=1^¥ f_k(x₀), а последовательность частичных сумм ФР {S_n(x)}_n=1^+¥ становится последовательностью частичных сумм числового ряда {S_n(x₀)}_n=1^+¥. ФР называется сходящимся в точке x₀ Î X, если сходится последовательность частичных сумм числового ряда {S_n(x₀)}_n=1^+¥.

v Определение сходимости ФР на множестве 40а

Пусть задан ФР S_k=1^¥ f_k(x). Если ФР сходится во всех точке множества X, то он называется сходящимся на множестве X.

v Определение суммы ФР 40а

Пусть задан ФР S_k=1^¥f_k(x) и последовательность частичных сумм ФР {S_k(x)}_k=1^+¥ . Если для "xÎX $-т lim S_k(x) = S(x) при k->¥, то он называется суммой ФР на X и пишут

S_k=1^¥f_k(x) = S(x)

[!!! сумма ФР является функцией!!! – аналог предельной функции]

·  понятие равномерной сходимости [ФП] 41

Определение равномерной сходимости ФП

Пусть на множестве X задана ФП {f_n(x)}_n=1^+¥. Говорят, что ФП равномерно сходится на множестве X к функции f(x), если для "e>0 $NÎ1N такое, что для "n³N и "xÎX выполняется неравенство

|f_n(x) - f(x)| < e

[!!! Равномерность означает, что N зависит только от e и не зависит от x]