Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 10

22.  Остаток числового ряда 34а

Определение

Остатком после n-го члена ряда Sk=1¥ak называется выражение вида Sk=n+1¥ak (суммируются члены ряда, начиная с (n+1)-го). Если остаток сходится, то его сумма обозначается rn.

[Фактически остаток после n-го члена также является рядом в соответствии с определением ряда Sk=1¥bk, если обозначить b1 = an+1, b2 = an+2 и т.д.]

Связь между сходимостью числового ряда и его остатка 34а

Теорема 1

1)  Если ряд Sk=1¥ak сходится, то сходятся все его остатки.

2)  Если сходится какой-нибудь отстаток ряда Sk=1¥ak, то сходится сам ряд, причем сумма ряда равна сумме n-ой частичной суммы и сумме остатка после n-го члена:

S = Sn + rn

Теорема 2

Пусть:

1)  ряд Sk=1¥ak сходится, S1 – его сумма (конечная);

2)  ряд Sk=1¥bk сходятся, S2 – его сумма (конечная);

3)  l, m ÎR

Тогда ряд Sk=1¥(lak + mbk) сходится и его сумма равна lS1 + mS2

23.  Ряды с неотрицательными членами 35а

Определение

Числовым рядом с неотрицательными членами называется числовой ряд Sk=1¥ak, у которого

"k ak ³ 0.

Лемма

Числовой ряд с неотрицательными членами Sk=1¥ak сходится ó последовательность частичных сумм {Sn}n=1¥ ограничена сверху.

Первый и второй признаки сравнения 35а, 36

Теорема (1-ый признак сравнения рядов)

Пусть Sk=1¥ak и Sk=1¥bk - числовые ряды с неотрицательными членами, причем "k ak £ bk.

Тогда:

1)  если ряд Sk=1¥bk сходится, то ряд Sk=1¥ak сходится

2)  если ряд Sk=1¥ak расходится, то ряд Sk=1¥bk расходится

Теорема (2-ой признак сравнения рядов)

Пусть:

1)  Sk=1¥ak и Sk=1¥bk - числовые ряды с неотрицательными членами, причем "k bk > 0 [т.е. bk ¹ 0].

2)  $-т lim ak/bk = q при n->¥

Тогда:

3)  если ряд Sk=1¥bk сходится и 0 £ q < +¥, то ряд Sk=1¥ak сходится

4)  если ряд Sk=1¥ak расходится и 0 < q £ +¥, то ряд Sk=1¥bk расходится

[При 0 < q < +¥ оба ряда сходятся или расходятся одновременно]

24.  Признак Даламбера сходимости рядов 36а

Пусть:

1.  Sk=1¥ak - числовой ряд с положительными членами: "k ak > 0.

2.  $-т lim ak+1/ak = q при n->¥

Тогда:

1.  если q < 1, то ряд Sk=1¥ak сходится

2.  если q > 1, то ряд Sk=1¥ak расходится

[если q = 1, то ничего о сходимости сказать нельзя]

25.  Признак Коши сходимости рядов 36а

Пусть:

1.  Sk=1¥ak - числовой ряд с неотрицательными членами.

2.  $-т lim Ökak = q при n->¥ (корень k-ой степени из ak)

Тогда:

1.  если q < 1, то ряд Sk=1¥ak сходится

2.  если q > 1, то ряд Sk=1¥ak расходится

[если q = 1, то ничего о сходимости сказать нельзя]

26.  Интегральный признак Коши [сходимости] 37

Теорема

Пусть функция f(x):

1)  определена и непрерывна на [1, +¥);

2)  монотонно убывает на [1, +¥);

3)  > 0 на [1, +¥).

Тогда ряд Sk=1¥f(k) и несобственный интеграл ∫1+¥f(x)dx ведут себя одинаково в смысле сходимости.

27.  Знакочередующийся ряд 37а

Определение знакопеременного ряда

Ряд называется знакопеременным, если его члены имеют поочередно то положительный, то отрицательный знаки. Знакопеременный ряд записывается в виде:

Sk=1¥(-1)k+1uk, где "k uk > 0

[!!! может возникать путаница: член ряда – со знаком или без !!!]

Признак Лейбница [сходимости знакопеременных рядов] 38

Теорема

Пусть члены знакопеременного ряда Sn=1¥(-1)n+1un:

1)  монотонно убывают: un > un+1

2)  стремятся к 0: lim un = 0 при n->¥

Тогда:

1)  знакопеременный ряд сходится

2)  значение модуля остатка после n-го члена не больше первого члена этого остатка:

|rn| = |S-Sn| £ un+1, где S – сумма ряда, а Sn – частичная сумма ряда.

Абсолютная и условная сходимость ряда 38а

Определение абсолютной сходимости

Ряд Sk=1¥ak называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд Sk=1¥|ak|

Определение условной сходимости

Ряд Sk=1¥ak называется условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно

Теорема