Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 10

22.  Остаток числового ряда 34а

Определение

Остатком после n-го члена ряда S_k=1^¥a_k называется выражение вида S_k=n+1^¥a_k (суммируются члены ряда, начиная с (n+1)-го). Если остаток сходится, то его сумма обозначается r_n.

[Фактически остаток после n-го члена также является рядом в соответствии с определением ряда S_k=1^¥b_k, если обозначить b₁ = a_n+1, b₂ = a_n+2 и т.д.]

Связь между сходимостью числового ряда и его остатка 34а

Теорема 1

1)  Если ряд S_k=1^¥a_k сходится, то сходятся все его остатки.

2)  Если сходится какой-нибудь отстаток ряда S_k=1^¥a_k, то сходится сам ряд, причем сумма ряда равна сумме n-ой частичной суммы и сумме остатка после n-го члена:

S = S_n + r_n

Теорема 2

Пусть:

1)  ряд S_k=1^¥a_k сходится, S₁ – его сумма (конечная);

2)  ряд S_k=1^¥b_k сходятся, S₂ – его сумма (конечная);

3)  l, m ÎR

Тогда ряд S_k=1^¥(la_k + mb_k) сходится и его сумма равна lS₁ + mS₂

23.  Ряды с неотрицательными членами 35а

Определение

Числовым рядом с неотрицательными членами называется числовой ряд S_k=1^¥a_k, у которого

"k a_k ³ 0.

Лемма

Числовой ряд с неотрицательными членами S_k=1^¥a_k сходится ó последовательность частичных сумм {S_n}_n=1^¥ ограничена сверху.

Первый и второй признаки сравнения 35а, 36

Теорема (1-ый признак сравнения рядов)

Пусть S_k=1^¥a_k и S_k=1^¥b_k - числовые ряды с неотрицательными членами, причем "k a_k £ b_k.

Тогда:

1)  если ряд S_k=1^¥b_k сходится, то ряд S_k=1^¥a_k сходится

2)  если ряд S_k=1^¥a_k расходится, то ряд S_k=1^¥b_k расходится

Теорема (2-ой признак сравнения рядов)

Пусть:

1)  S_k=1^¥a_k и S_k=1^¥b_k - числовые ряды с неотрицательными членами, причем "k b_k > 0 [т.е. b_k ¹ 0].

2)  $-т lim a_k/b_k = q при n->¥

Тогда:

3)  если ряд S_k=1^¥b_k сходится и 0 £ q < +¥, то ряд S_k=1^¥a_k сходится

4)  если ряд S_k=1^¥a_k расходится и 0 < q £ +¥, то ряд S_k=1^¥b_k расходится

[При 0 < q < +¥ оба ряда сходятся или расходятся одновременно]

24.  Признак Даламбера сходимости рядов 36а

Пусть:

1.  S_k=1^¥a_k - числовой ряд с положительными членами: "k a_k > 0.

2.  $-т lim a_k+1/a_k = q при n->¥

Тогда:

1.  если q < 1, то ряд S_k=1^¥a_k сходится

2.  если q > 1, то ряд S_k=1^¥a_k расходится

[если q = 1, то ничего о сходимости сказать нельзя]

25.  Признак Коши сходимости рядов 36а

Пусть:

1.  S_k=1^¥a_k - числовой ряд с неотрицательными членами.

2.  $-т lim Ö^ka_k = q при n->¥ (корень k-ой степени из a_k)

Тогда:

1.  если q < 1, то ряд S_k=1^¥a_k сходится

2.  если q > 1, то ряд S_k=1^¥a_k расходится

[если q = 1, то ничего о сходимости сказать нельзя]

26.  Интегральный признак Коши [сходимости] 37

Теорема

Пусть функция f(x):

1)  определена и непрерывна на [1, +¥);

2)  монотонно убывает на [1, +¥);

3)  > 0 на [1, +¥).

Тогда ряд S_k=1^¥f(k) и несобственный интеграл ∫₁^+¥f(x)dx ведут себя одинаково в смысле сходимости.

27.  Знакочередующийся ряд 37а

Определение знакопеременного ряда

Ряд называется знакопеременным, если его члены имеют поочередно то положительный, то отрицательный знаки. Знакопеременный ряд записывается в виде:

S_k=1^¥(-1)^k+1u_k, где "k u_k > 0

[!!! может возникать путаница: член ряда – со знаком или без !!!]

Признак Лейбница [сходимости знакопеременных рядов] 38

Теорема

Пусть члены знакопеременного ряда S_n=1^¥(-1)ⁿ⁺¹u_n:

1)  монотонно убывают: u_n > u_n+1

2)  стремятся к 0: lim u_n = 0 при n->¥

Тогда:

1)  знакопеременный ряд сходится

2)  значение модуля остатка после n-го члена не больше первого члена этого остатка:

|r_n| = |S-S_n| £ u_n+1, где S – сумма ряда, а S_n – частичная сумма ряда.

Абсолютная и условная сходимость ряда 38а

Определение абсолютной сходимости

Ряд S_k=1^¥a_k называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд S_k=1^¥|a_k|

Определение условной сходимости

Ряд S_k=1^¥a_k называется условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно

Теорема