Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 12

Равномерная сходимость ФП обозначается:        f_n(x)    f(x)

·  лемма о необходимом и достаточном условии равномерной сходимости числовой функциональной последовательности 41

Лемма

Пусть на множестве X задана ФП {f_n(x)}_n=1^+¥.

Тогда: равномерная сходимость ФП ó sup_xÎX|f_n(x) - f(x)| -> 0 при n->+¥

30.  Равномерно сходящийся функциональный ряд 41а

Определение равномерно сходящегося ФР

Говорят, что ФР S_k=1^¥f_k(x) равномерно сходится [определение сходимости ФР вообще – см. п.29] к сумме S(x) на Х, если ФП частичных сумм {S_n(x)}_n=1^+¥ равномерно сходится к S(x).

Критерий Коши [равномерной сходимости ФР] 42а

Теорема

1)  задан ФР S_k=1^¥f_k(x), xÎX;

2)  {S_n(x)}_n=1^+¥ - последовательность частичных сумм ФР, где S_n = S_k=1ⁿf_k(x) - n-ая частичная сумма

Равномерная сходимость ФР S_k=1^¥f_k(x) на X ó если для "e>0 $NÎ1N такое, что для "n³N, "p³0 и "xÎX выполняется неравенство

|S_n(x) - S_n+p(x)| < e

Необходимое условие равномерной сходимости ФР 41а

Теорема

Если ФР S_k=1^¥f_k(x) равномерно сходится к S(x), то f_k(x) на X равномерно сходится к 0.

[??? для обозначения равномерной сходимости функции f_k(x) использован символ равномерной сходимости ФП ???]

Теорема Вейерштрасса 41а

Теорема (достаточный признак равномерной сходимости ФР)

3)  задан ФР S_k=1^¥f_k(x), xÎX;

4)  задан сходящийся ЧР (числовой ряд) S_k=1^¥a_k, с неотрицательными членами: "k a_k³0;

Если для "k "xÎX |f_k(x)|£ a_k, то ФР S_k=1^¥f_k(x) сходится на X абсолютно и равномерно.

31.  Непрерывность суммы равномерно сходящегося [ФР] ряда с непрерывными членами 43

Теорема

Пусть ФР S_n=1^¥f_n(x), xÎX равномерно сходится на X к S(x). Если для "nÎ1N функции f_n(x) непрерывны в x₀ÎX, то S(x) непрерывна в x₀

32.  Почленное интегрирование равномерно сходящегося [ФР] ряда 43а

Теорема

Пусть:

1)  ФР S_n=1^¥f_n(x), xÎX, X = [a, b], причем "nÎN функции f_n(x) непрерывны на [a, b].

2)  ФР равномерно сходится к S(x) на [a, b]

3)  точка x₀Î[a, b]

Тогда:

S_n=1^¥ò_x0^xf_n(t)dt сходится равномерно на [a, b] к ò_x0^xS(t)dt

и S_n=1^¥ò_x0^xf_n(t)dt = ò_x0^x(S_n=1^¥f_n(t))dt

33.  Почленное дифференцирование ряда [ФР] 44

Теорема

Пусть:

1)  ФР S_n=1^¥f_n(x) [функции], xÎX, X = [a, b], причем "n f_n(x) непрерывно-дифференцируемы на [a, b], ФР сходится в точке x₀Î[a, b] [??? Ф438: ФР должен сходиться не в точке, а на всем промежутке ???]

2)  ФР S_n=1^¥f_n^'(x) [производные], xÎX, X = [a, b] – равномерно сходится на [a, b] к сумме s(x)

Тогда:

1)  ФР S_n=1^¥f_n(x) сходится равномерно на [a, b]

2)  S'(x) = s(x), где S(x) – сумма ФР S_n=1^¥f_n(x), т.е.

(S_n=1^¥f_n(x))' = S_n=1^¥f_n^'(x)

34.  Степенные ряды: 46

============================================

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ являются ЧАСТНЫМ СЛУЧАЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ, поэтому к ним применимы определения и теоремы для ФР

============================================

Определение степенного ряда

Степенным рядом называется выражение вида

S_n=0^¥a_n(x-x₀)ⁿ = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)² + …+ a_n(x-x₀)ⁿ + …, в котором:

-  слагаемые записаны в порядке возрастания степени (x-x₀);

-  "n a_nÎ1R; a_n называются коэффициентами степенного ряда;

-  x, x₀ Î1R

Замечание

Делая замену переменной y = x - x₀, можно привести степенной ряд к виду S_n=0^¥a_nyⁿ, провести исследование этого ряда, а потом вернуться к исходному ряду относительно x и применить к нему полученные результаты исследования.

·  первая теорема Абеля 46а

Теорема

1)  Если степенной ряд S_n=0^¥a_nxⁿ сходится в точке x* и |x| < | x*|, то ряд сходится в точке x

2)  Если степенной ряд S_n=0^¥a_nxⁿ расходится в точке x* и |x| > | x*|, то ряд расходится в точке x

·  радиус сходимости 47, 48а

Определение радиуса сходимости степенного ряда

Радиусом сходимости степенного ряда S_n=0^¥a_nxⁿ называется число RÎ1R, удовлетворяющее следующим условиям:

1)  0 £ R £+¥