2) если ряд сходится, равна ли сумма ряда значению f(x) – см. Теорему на 52а – достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора]
n-ой частичной суммой ряда Тейлора в точке x0 называется выражение
Sn(x) = Sk=0n(f(k)(x0)/k!) (x-x0)k.
n-ым Остаточным членом (остатком) ряда Тейлора в точке x0 называется выражение
rn(x) = f(x) - Sn(x)
Сходимость ряда Тейлора 51а
??? Теорема ??? 51a
Для того, чтобы ряд Тейлора функции f(x) сходился к ней в некоторой окрестности точки x0, необходимо и достаточно, чтобы для любого x из этой окрестности остаточный член формулы Тейлора обладал свойством rn(x) -> 0 при n -> +¥.
Сходимость остаточных членов формулы Тейлора 51а
Теорема
Для того, чтобы функция f(x) была равна на рассматриваемом интервале сумме своего ряда Тейлора, т.е., чтобы lim Sn(x)n->+¥ = f(x), необходимо и достаточно, чтобы для всех x из этого интервала ее [функции] остаточный член в формуле Тейлора стремился к 0:
limn->+¥ rn(x) = 0
Если это имеет место, то остаточный член ФОРМУЛЫ Тейлора является также и суммой остатка РЯДА Тейлора.
Три вида записи остаточного члена формулы Тейлора 51а
Теорема
Пусть функция f(x) (n+1) раз непрерывно дифференцируема в окрестности точки x0.
Тогда остаточный член формулы Тейлора rn(x) "x из этой окрестности может быть записан в следующих трех формах:
1) (интегральная форма)
rn(x) = (1/n!)òx0xf(n+1)(t)(x-t)ndt
2) (форма Лагранжа)
rn(x) = ((f(n+1)(ξ)/(n+1)!))(x-x0)n+1, ξ = x0 + θ(x-x0), 0 < θ <1
3) (форма Коши)
rn(x) = ((f(n+1)(ξ)/n!))(1- θ)n(x-x0)n+1, ξ = x0 + θ(x-x0), 0 < θ <1
Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора 52а
Теорема
!!! (x0-h, x0+h), h>0 – это строгое определение "окрестности" !!!
Пусть в некоторой окрестности точки x0 (x0-h, x0+h), h>0 функция f(x) имеет производные всех порядков, абсолютные величины которых ограничены в совокупности, т.е. для "n = 1, 2, …:
$ постоянная M>0, такие, что для "xÎ(x0-h, x0+h) выполняется неравенство |f(n)(x)| £ M
Тогда на интервале (x0-h, x0+h) функция f(x) раскладывается в ряд Тейлора:
Sn=0+¥(f(n)(x0)/n!) (x-x0)n, |x- x0| < h
37. Разложение в ряды Тейлора элементарных функций:
· ex 54
· sin x 54
· cos x 54
· ln (1+x) 54а
38. Разложение в ряд Тейлора функции (1+x)α 55
1. Сходимость числовой последовательности (ЧП) I38
Используется в: 40
2. 2
3. дифференцируемости функции
Используется в: 8
4. Непрерывность функции
Непрерывность в точке
Непрерывность в промежутке
5. Равномерная непрерывность функции III 11a
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] -> 1R.
Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если Ă ε > 0 Ĕ-т δ > 0 такое, что для Ă x' и x'' Î[a, b] из |x' - x''| < δ следует, что |f(x') – f(x'')| < ε [!!!δ зависит только от ε и не зависит от x' и x'']
6. 4
1. Теорема Лагранжа II13
Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на [a, b].
Тогда $ точка сÎ[a, b], такая, что f(b) – f(a) = f'(c)*(b – a).
Используется в: 1
2. 1-я теорема Вейерштрасса III11
Если функция f(x) определена и непрерывна на [a, b], то f(x) ограничена на [a, b].
Используется в: 16a
3. 2-я теорема Вейерштрасса III11
Если функция f(x) определена и непрерывна на [a, b], то A = inf f(x) на [a, b] и B = sup f(x)
на [a, b] являются значениями f(x) в некоторых точках на [a, b].
Используется в: 19, 22, 23
4. Теорема Кантора (III11a)
Если функция f(x) определена и непрерывна на [a, b], то f(x) равномерно непрерывна на [a, b].
Используется в: 16a, 23а
5. Теорема о $ - нии конечного предела последовательности, которая возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу) I 38а
Используется в: 21
6. 6
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.