Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 4

R(u₁, …, u_n) = P(u₁, …, u_n)/Q(u₁, …, u_n), где P(u₁, …, u_n) и Q(u₁, …, u_n) – обобщенные многочлены нескольких переменных.

14.  Подстановки Чебышева 11

Смысл: с помощью замены переменных привести к интегрированию дробных функций (определяются требования к коэффициентам).

15.  ∫ R(sin x, cos x)dx 11

∫ sin^mx*cosⁿx dx 11а

16.  ∫e^αxsinβx dx  (вычислить) 12а

∫e^αxcosβx dx (вычислить)

17.  ∫xⁿcosαx dx (вычислить)

∫xⁿsinαx dx (вычислить) 12

∫xⁿe^αx dx (вычислить)

18.  Разбиения отрезка 13, 13а, 14 [мелкость = диаметр]

Определение разбиения

Рассмотрим отрезок [a, b] числовой прямой R, a< b. Множество τ = {x_k}, k = 0…k_τ – конечное множество точек на [a, b]: a = x₀ < x₁ < …< x_kτ-1 < x_kτ = b называется разбиением отрезка [a, b].

Определение [отношения] следования разбиений

Пусть τ₁ и τ₂ – разбиения отрезка [a, b]. Разбиение τ₂ следует за разбиением τ₁, если τ₂ получена из τ₁ добавлением новых точек.

Свойства [отношения следования] разбиений 13а

- если τ₂ следует за τ₁, а τ₃  следует за τ₂, то τ₃ следует за τ₁

- если τ₁ и τ₂ – разбиения отрезка [a, b] и τ₂ следует за τ₁, то Ĕ-т разбиение τ₃ ["между" τ₁ и τ₂], такое что τ₃  следует за τ₁, а τ₂ следует за τ₃

Определение диаметра (мелкости) разбиения

Пусть τ = {x_k}, k = 0…k_τ – разбиение отрезка [a, b]. Обозначим |τ| = max {Δ₁, …, Δ_k} – наибольшее из длин отрезков называется диаметром (мелкостью) разбиения τ.

19.  Понятие определенного интеграла

Определение интегральной суммы Римана

Пусть τ = {x_k}, k = 0…k_τ – разбиение отрезка [a, b], f(x) – функция, заданная на [a, b]. На каждом отрезке [x_k-1, x_k] длиной Δ_k = (x_k - x_k-1) разбиения τ возьмем точку ξ_k € [x_k-1, x_k].

Сумма σ_τ(f, ξ_{1, …,} ξ_k) = Σ_k=1^kτ f(ξ_k)_*Δ_k называется интегральной суммой Римана функции f(x) на [a, b].

Определение определенного интеграла 1 14

Пусть функция f(x): [a, b] -> 1R. ЧислоI называется определенным интегралом функции f(x) по [a, b], если Ă ε > 0 Ĕ-т δ > 0 такое, что Ă разбиения τ отрезка [a, b], у которого диаметр |τ| < δ, при произвольном выборе точек {ξ_k} (k = 0…k_τ) для интегральной суммы σ_τ(f, ξ_{1, …,} ξ_k) выполняется соотношение |σ_τ - I| < ε.

Обозначение определенного интеграла функции f(x) по [a, b]: ∫_a^bf(x)dx (т.е. I = ∫_a^bf(x)dx)

Определение интегрируемой функции 14

Если Ĕ-т ∫_a^bf(x)dx, то функция f(x) называется интегрируемой на [a, b].

Определение определенного интеграла 2 14

Пусть функция f(x): [a, b] -> 1R. ЧислоI называется определенным интегралом функции f(x) по [a, b], если Ă (последующего ???) последовательности разбиений {τ_n}n = ₁^∞ = τ₁, τ₂, …, отрезка [a, b], такой что диаметр |τ_n| -> 0, для последовательности интегральных сумм σ_τn(f, ξ₁⁽ⁿ⁾_{, …,} ξ_k⁽ⁿ⁾) при произвольном выборе точек {ξ_k⁽ⁿ⁾|ξ_k⁽ⁿ⁾€ [x_k-1⁽ⁿ⁾, x_k⁽ⁿ⁾]} (k = 1…k_τ) выполняется соотношение:

lim σ_τn при n -> ∞ = lim σ_τn(f, ξ₁⁽ⁿ⁾_{, …,} ξ_k⁽ⁿ⁾) при n -> ∞ = I.

Замечания 14, 14а

1. Определения 1 и 2 равносильны
2. Если для некоторой последовательности разбиений {τ_n}n = ₁^∞ диаметр |τ_n| -> 0, то k_τn -> ∞
3. Определение предела функции, определенной на разбиениях отрезка [a, b]

Пусть задана функция от разбиений F(τ), т.е. каждому разбиению τ отрезка [a, b] поставлено в соответствие некоторое число € 1R. Говорят, что F(τ) -> A€1R, если |τ| > 0, Ă ε > 0 Ĕ-т δ > 0 такое, что для Ă разбиения τ отрезка [a, b], у которого |τ| < δ выполняется соотношение

| F(τ) - A | < ε

4. Считаем, что ∫_a^af(x)dx = 0
5. Считаем, что ∫_a^bf(x)dx = - ∫_b^af(x)dx

20.  Ограниченность интегрируемой функции 14

Теорема

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на [a, b].

21.  Суммы Дарбу 15

Определение нижней и верхней сумм Дарбу

Пусть:

- функция f(x): [a, b] -> 1R и ограничена на [a, b].

- τ = {x_k}, k = 1…k_τ – разбиение отрезка [a, b]

- m_k = inf f(x), M_k = sup f(x) при x € [x_k-1, x_k], k = 1…k_τ

_- Δ_{k =} x_k - x_k-1, k = 1…k_τ