Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции), страница 8

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл (типа 2) называется сходящимся, а если не $-т или равен ¥, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Замечание

Справедливо Утверждение для Определения 1

Определение 3

Пусть f(x):

1.  определена на (a, b) [!!! f(x) не определена на ОБОИХ границах !!!]

2.  интегрируема на отрезке [x, h] для "x"h: a < x < b, a < h < b

Возьмем точку c: a < c < b.

Тогда несобственным интегралом функции f(x) от a до b ∫_a^bf(x)dx (несобственным интегралом типа 3) называется следующая ПАРА несобственных интегралов:

-  ∫_a^сf(x)dx по Определению 2

-  ∫_с^bf(x)dx по Определению 1.

Несобственный интеграл типа 3 ∫_a^bf(x)dx называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла из пары, в других случаях несобственный интеграл называется расходящимся.

Для сходящегося интеграла его значением НАЗЫВАЕТСЯ сумма значений несобственных интегралов из пары:

∫_a^bf(x)dx = ∫_a^сf(x)dx + ∫_с^bf(x)dx

Замечание

Из Утверждений для несобственных интегралов по Определению 1 и Определению 2 следует, что выбор точки "с" НЕ ВЛИЯЕТ на сходимость и [???] значение  интегралов

Определение правильного разбиения (a, b) относительно функции f(x)

Рассмотрим отрезок (a, b), где a и b – конечны или равны, соответственно,  -¥ и +¥.

Рассмотрим разбиение этого отрезка, определяемое как множество точек разбиения {x_k} k = 0…n [n ³ 1], где a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n-1 < x_n = b [при n точках будет n+1 отрезок].

Пусть f(x) – функция, определенная на (a, b).

Тогда данное разбиение отрезка (a, b) называется правильным относительно функции f(x), если

f(x) интегрируема [в "собственном" смысле – т.е. как определенный интеграл] на любом отрезке [этого разбиения], содержащемся в (a, b) [я бы: содержащемся в (a, b)] и не содержащем точек разбиения.

Определение 4

Пусть f(x) – функция, определенная на (a, b) и разбиение отрезка (a, b) {x_k} k = 0…n является правильным относительно функции f(x). Тогда n интегралов ∫_xk-1^xkf(x)dx (k = 1..n ) являются несобственными интегралами в соответствии с Определениями 1, 2 или 3.

Тогда несобственным интегралом функции f(x) от a до b ∫_a^bf(x)dx (несобственным интегралом типа 4) называется СОВОКУПНОСТЬ вышеупомянутых несобственных интегралов.

Несобственный интеграл типа 4 ∫_a^bf(x)dx называется сходящимся, если сходятся все несобственные интеграл из совокупности, в других случаях несобственный интеграл называется расходящимся.

Для сходящегося интеграла его значением НАЗЫВАЕТСЯ сумма значений несобственных интегралов из совокупности:

∫_a^bf(x)dx = S_k=1ⁿ∫_xk-1^xkf(x)dx

Замечание

Сходимость и значение интеграла типа 4 не зависит от выбора правильного разбиения.

∫₀¹dx/x^α 30

 

 

∫₁^+∞dx/x^α 30

17.  Свойства несобственных интегралов:

·  формула Ньютона-Лейбница 30а

Теорема

Пусть:

§  f(x) определена на [a, b]

§  F(x) – первообразная для f(x) – существует на [a, b)

Тогда ∫_a^bf(x)dx = lim F(x)_x->b- – F(a)

·  монотонность интеграла относительно подынтегральной функции 30а

Теорема

Пусть функции f(x) и g(x) определены на [a, b), причем f(x) £ g(x) на [a, b).

Пусть ∫_a^bf(x)dx и ∫_a^bg(x)dx – сходятся на [a, b).

Тогда ∫_a^bf(x)dx £ ∫_a^bg(x)dx

·  замена переменной 30а

Теорема о замене переменной

Пусть:

1.  функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b)

2.  функция j(t):

§  j(t): [a, b) -> [a, b)

§  j(t) и j'(t) непрерывны на [a, b)

§  j(a) = a, lim j(t)_t->b- = b

§  [Ф605 j(t) монотонно возрастает (убывает) на [a, b)]

Тогда:

∫_a^bf(x)dx = ∫_a^bf(j(t))j'(t)dt [Ф605 в предположении, что $-т один из этих интегралов (существование другого отсюда уже вытекает)]

Если интеграл слева сходится, то и  интеграл справа сходится.

Если $-т непрерывно-дифференцируемая обратная функция j^-1: [a, b) –> [a,b), то из сходимости справа следует сходимость слева.