2) если |x| < R, то в точке x ряд абсолютно сходится
3) если |x| > R, то в точке x ряд расходится
Степенной ряд имеет единственный радиус сходимости
· поведение ряда внутри интервала [??? радиуса ???] сходимости 47а
Пусть задан степенной ряд Sn=0¥anxn.
Тогда:
1) ряд имеет радиус сходимости [!!! и единственный]
2) если |x| < R, то в точке x ряд абсолютно сходится [следует из определения радиуса и 1)]
3) если 0 < r < R, то на [-r, r] ряд сходится равномерно
Пусть задан степенной ряд Sn=0¥anxn, причем для "n an ¹ 0. Пусть $-т lim |an+1|/|an| = A при n->+¥.
Тогда радиус сходимости степенного ряда R = 1/A.
Пусть задан степенной ряд Sn=0¥anxn. Пусть $-т lim Önan = A при n->¥ (корень n-ой степени из an) = A при n->+¥.
Тогда радиус сходимости степенного ряда R = 1/A.
35. Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда
ФII 447 Теорема о почленном интегрировании степенного ряда
Степенной ряд Sn=0¥anxn в промежутке [0, x], где |x| < R, можно интегрировать почленно, так что ò0xf(x)dx = a0x + (a1/2)x2 + (a2/3)x3 + … + (an-1/n)xn + …
Значение x может совпадать и с концом промежутка сходимости, если на этом конце ряд сходится.
ФII 447 Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда
Степенной ряд Sn=0¥anxn в промежутке [0, x], где |x| < R, можно дифференцировать почленно, так что f'(x) = a1 + 2a2x + … + nanxn-1 + …
Значение x может совпадать и с концом промежутка сходимости, если на этом конце ряд сходится.
Определение аналитической функции 48а
Функция f(x) называется аналитической в точке x0, если в окрестности этой точки она разлагается [??? понятие "разлагается" не было определено ???] в степенной ряд
f(x) = Sn=0¥an(x-x0)n.
Теорема [в т.ч. о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда] 48a-50
Пусть f(x) – аналитическая в точке x0, т.е. в окрестности точки x0 f(x) = Sn=0¥an(x-x0)n (ряд 1).
R – радиус сходимости ряда 1.
Кроме ряда 1, рассмотрим следующие ряды:
1) бесконечное количество рядов вида
f(m)(x) = Sn=m¥ann(n-1)(n-2)…(n-m+1)(x-x0)n-m (ряды 2) для m = 1, 2, …
2) Sn=0+¥(an/(n+1))(x-x0)n+1 (ряд 3).
Тогда:
1) все ряды 1, 2, 3 имеют одинаковый радиус сходимости R
2) f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки x0 и производные вычисляются по формулам f(m)(x) = Sn=m¥ann(n-1)(n-2)…(n-m+1)(x-x0)n-m; [почленное дифференцирование степенного ряда]
3) f(x) интегрируема при |x-x0| < R и интеграл вычисляется по формуле:
òx0xf(t)dt = Sn=0+¥(an/(n+1))(x-x0)n+1. [почленное интегрирование степенного ряда]
Замечание
Если f(x) – аналитическая в точке x0, то она в окрестности этой точки бесконечно дифференцируема.
Единственность разложения функции в степенной ряд 51
Теорема
Пусть f(x) – аналитическая в точке x0, т.е. в окрестности точки x0 f(x) = Sn=0¥an(x-x0)n.
Тогда коэффициенты an (n = 0, 1, 2, …) определяются по формулам:
an = f(n)(x0)/n!, где f(n)(x0) – значение n-ой производной f(x) в точке x0.
Следствие
Если f(x) в окрестности точки x0 f(x) разлагается в ряд Sn=0¥an(x-x0)n, т.е. f(x) = Sn=0¥an(x-x0)n [?? проще сказать – аналитическая], то такое разложение единственное и его коэффициенты вычисляются по этой теореме.
36. Понятие ряда Тейлора 51а
Определение ряда Тейлора
Если функция f(x) определена в окрестности точки x0 и имеет в x0 производные всех порядков, то ряд
Sn=0+¥(f(n)(x0)/n!) (x-x0)n называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0.
Замечание
Не всякая функция, бесконечно дифференцируемая в точке x0 [для нее может быть составлен ряд Тейлора], равна в окрестности x0 сумме своего ряда Тейлора.
[!!! f(0)(x0) = f(x0)]
[!!! В определении не говорится:
1) о сходимости ряда
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.