φ = Arg z = arg z+2πn; arg z – главное значение аргумента.
Геометрическая интерпретация (представление)
Комплексному числу z = x + iy ставится в соответствие точка на плоскости с декартовыми координатами (x, y) или радиус-вектор этой точки.
Арифметические действия над комплексными числами [для различных форм записи] 3, 3а, 4
Определение арифметических действий – без учета формы записи
Сложение: Re (z1 + z2) = Re z1 + Re z2
Im (z1 + z2) = Im z1 + Im z2
Вычитание: Re (z1 - z2) = Re z1 - Re z2
Im (z1 - z2) = Im z1 - Im z2
Умножение: Re (z1*z2) = Re z1* Re z2 – Im z1* Im z2
Im (z1*z2) = Re z1* Im z2-x2* Im z1
Деление: Re (z1/z2) =
Im (z1/z2) =
Определение арифметических действий для алгебраической формы записи
Сложение: z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
Вычитание: z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 - y2)
Умножение: z1*z2 = (x1*x2 – y1*y2) + i(x1*y2-x2*y1)
Деление: z1/z2 = z1*(1/z2), где 1/z2 – комплексное число, обратное z2
Определение обратного числа для комплексного числа z(≠ 0):
z*(1/z) = 1 (действие * - в соответствии с определением) -> получим
1/z = x/(x2 + y2) - iy(x2 + y2).
!!! формулы для +, -, *, / комплексно сопряженных чисел выводятся из определений комплексно сопряженных чисел и арифметических операций.
Определение арифметических действий для тригонометрической формы записи
Сложение: z1 + z2 = (r1cosφ1 + r2cosφ2) + i (r1sinφ1 + r2sinφ2)
Вычитание: z1 - z2 = (r1cosφ1 - r2cosφ2) + i (r1sinφ1 - r2sinφ2)
Умножение: z1*z2 = r1r2[cos(φ1+φ2) + icos(φ1+φ2)]
Деление: z1/z2 = (r1/r2)*[cos(φ1-φ2) + icos(φ1-φ2)].
Определение корня n-ой степени из комплексного числа
Комплексное число w называется корнем n-ой степени из комплексного числа z, если wn = z
Теорема 4
Ненулевое комплексное число z имеет n значений корня n-ой степени
5. Многочлены 4
Алгебраическим многочленом степени n от вещественной переменной x или комплексной переменной z называется …(4)
!!! Вещественный многочлен: a0, a1, …, an – вещественные числа !!!
Равенство многочленов 4а
Утверждение 1 (теорема)
Два многочлена P1(x) и P2(x) являются тождественно равными …
Утверждение 2 (теорема)
Пусть многочлен P(x) имеет степень n, а многочлен Q(x) имеет степень m, тогда P(x)*Q(x) имеет степень n + m.
??? Переход от x к z
Деление с остатком 4а
Утверждение 3(теорема) + Определение многочлена - остатка
Пусть многочлен P(z) имеет степень n, а многочлен Q(z) имеет степень m, причем n ≥ m. Тогда Ĕ-т многочлены S(z) степени (n-m) и R(z) степени ниже m (или R(z) ≡ 0) такие, что
P(z) = Q(z)*S(z) + R(z). В этом случае S(z) называется неполным частным от деления P(z)/Q(z), а R(z) – остатком от деления P(z)/Q(z). 95/10: 95 = 10*9 + 5
Определение корня многочлена. Теорема Безу 5
Число z0 называется корнем многочлена P(z), если P(z0) = 0.
Теорема Безу
Для того, чтобы число z0 было корнем многочлена P(z), необходимо и достаточно, чтобы P(z) делилось на (z-z0) без остатка.
Основная теорема алгебры 5
Любой многочлен степени выше 0-ой имеет хотя бы один комплексный корень.
6. Разложение многочленов на множители 5, 5а, 6
Определение корня многочлена кратности k
Число z0 называется корнем кратности k многочлена P(z), если P(z) делится без остатка на (z-z0)k и не делится без остатка на (z-z0)k+1.
Теорема 5
Любой многочлен P(z) степени ≥ 1 можно представить в виде …
Теорема 5а
Пусть z0 - корень кратности k многочлена P(z) = …, тогда ─z0 - корень той же кратности k многочлена P(─z). [─z - комплексно сопряженное число]
Следствие теоремы
Пусть P(x) – многочлен с вещественными коэффициентами. Если у него есть комплексный корень z0 = x0 + iy0 (y0 ≠ 0) кратности k, то ─z0 – тоже корень P(x) кратности k.
Теорема о разложении на множители вещественного многочлена P(x) степени ≥ 1 5а
7. Разложение в сумму простейших дробей правильной рациональной дроби (комплексной): лемма и теорема 6?
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.