Ответы на вопросы к коллоквиуму № 1-38 по дисциплине "Математика" (Выпуклость графика функции. Разложение в ряд Тейлора функции)

Вопросы к коллоквиуму

1.  Выпуклость графика функции 1

Определения

Пусть:

- f(x) определена на (a, b);

- в точке x₀ € (a,b) Ĕ-т конечная производная f^'(x₀) (тогда в точке x₀ Ĕ-т касательная, не параллельная оси Y).

Если Ĕ-т δ>0 такое, что для Ă x € (x₀-δ; x₀+δ)\x₀ точка графика функции f(x) лежит ниже соответствующей точки касательной, то график функции f(x) в точке x₀ имеет выпуклость вверх.

Если Ĕ-т δ>0 такое, что для Ă x € (x₀-δ; x₀+δ)\x₀ точка графика функции f(x) лежит выше соответствующей точки касательной, то график функции f(x) в точке x₀ имеет выпуклость вниз.

!!! границы отрезка – входят или нет !!!

Геометрический смысл второй производной 1

Теорема

Пусть:

- f(x) определена на (a, b);

- в точке x₀ € (a,b) Ĕ-т конечная производная f''(x₀) (предполагается, что в окрестности x₀ и в самой x₀ Ĕ-т f^'(x)).

Тогда:

- если f''(x₀) > 0, то [график функции] f(x) в точке x₀ имеет выпуклость вниз;

- если f''(x₀) < 0, то [график функции] в точке x₀ имеет выпуклость вверх.

В доказательстве используется теорема Лагранжа.

2.  Точки перегиба 1а

Определения

Пусть:

- f(x) определена на (a, b);

- в точке x₀ € (a,b) график функции f(x) имеет касательную;

- Ĕ-т δ>0 такое, что для Ă x € (x₀+δ) точки графика функции f(x) лежат по одну сторону от касательной, для Ă x € (x₀-δ) точки графика функции f(x) лежат по другую сторону от касательной. В этом случае точка x₀ называется точкой перегиба [графика] функции f(x).

!!! границы отрезка – входят или нет !!!

Теорема

Пусть:

- f(x) определена на (a, b);

- в точке x₀ € (a,b) Ĕ-т конечная производная f'(x₀);

- в окрестности δ точки x₀, за исключением, быть может, самой точки x₀, Ĕ-т [конечная] производная f''(x) [более строгий вариант записи условия: Ĕ-т δ>0 такое, что для Ă x € (x₀-δ; x₀+δ)\x₀ Ĕ-т [конечная] производная f''(x)].

Тогда:

- если в (x₀-δ, x₀) и (x_0, x₀+δ) f''(x) имеет разные знаки, то точка x₀ является точкой перегиба;

- если в (x₀-δ; x₀+δ)\x₀ f''(x) имеет один и тот же знак, то точка x₀ не является точкой перегиба.

В доказательстве используется теорема Лагранжа.

3.  Асимптоты графика функции 2

Определение 1

Пусть f(x) определена на [a, +∞). Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции f(x) при x -> +∞, если lim (f(x) – kx – b) = 0 при x -> +∞. При k = 0 асимптота называется горизонтальной, при k ≠ 0 асимтота называется наклонной.

Определение 2

Пусть f(x) определена на (-∞, a]. Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции f(x) при x -> -∞, если lim (f(x) – kx – b) = 0 при x -> -∞. При k = 0 асимптота называется горизонтальной, при k ≠ 0 асимтота называется наклонной.

Определение 3

Пусть f(x) определена в окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки а (или в одной из полуокрестностей точки a). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x) в точке а, если справедливо хотя бы одно из соотношений:

-  lim f(x) = ∞ при x -> a⁺ [∞ любого знака; f(x) должна быть определена именно в этой полуокрестности точки a];

-  lim f(x) = ∞ при x -> a^- [∞ любого знака; f(x) должна быть определена именно в этой полуокрестности точки a].

Теорема 1

Пусть f(x) определена на [a, +∞). Для того, чтобы прямая была асимптотой графика функции f(x) при x -> +∞, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись соотношения:

-  lim f(x)/x = k при x -> +∞;

-  lim (f(x) – kx) = b при x -> +∞.

Теорема 2 (аналог Теоремы 1)

Пусть f(x) определена на (-∞, a]. Для того, чтобы прямая была асимптотой графика функции f(x) при x -> -∞, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись соотношения:

-  lim f(x)/x = k при x -> -∞;

-  lim (f(x) – kx) = b при x -> -∞.

!!! границы отрезка – входят или нет !!!

4.  Понятие комплексного числа 3

Определение комплексного числа

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел x и y. Первое из них x называется действительной частью комплексного числа z и обобзначается Rez, x = Rez; второе число y называется мнимой частью частью комплексного числа z и обобзначается Imz, y = Imz.

Определение равенства комплексных чисел

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: z1 = z2 ó Re z1 = Re z2 и Im z1 = Im z2.

Вещественное число – частный случай комплексного: у вещественного Imz = 0

Формы записи комплексного числа и геометрическая интерпретация 3, 3а

Формы: алгебраическая и тригонометрическая

Алгебраическая форма

В алгебраической форме комплексное число z представляется в виде выражения x + iy (i – мнимая единица).

Для комплексного числа z = x + iy комплексно сопряженным называется комплексное число ^─z = x – iy.

Тригонометрическая форма

Если x и y - декартовы координаты точки плоскости, то, перейдя на плоскости к полярным координатам (r, φ) и воспользовавшись соотношением x = rcosφ, y = rsinφ, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:  z = r (cosφ + isinφ). При этом число r называют модулем комплексного числа, |z| = r, а число φ - аргументом комплексного числа.