Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания и индивидуальные задания по дисциплине «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Кафедра высшей математики.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

Методические указания и индивидуальные задания по дисциплине  «Высшая математика» для заочников.

Новокузнецк  2003.

УДК  519.075

Даны примеры и задания для выполнения контрольной работы №9 по высшей математике для студентов заочников 2-го курса  четвертого семестра.

Рецензент

Доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой МиММ НФИ КемГУ  В.О. Каледин.                                                                              

Печатается по решению редакционно-издательского совета       университета.              

ВВЕДЕНИЕ.

Методические указания предназначены для студентов 2-го курса 4-го семестра. В них рассмотрены основные понятия теории вероятностей с примерами, приведен решенный вариант контрольной работы №9.Даны экзаменационные вопросы, и ряд задач которые используются на зачете или экзамене.

Выбор задач контрольной работы №9 осуществляется с помощью таблицы.

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ  ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Пусть в результате опыта может наступить событие А, тогда по классическому определению вероятности вероятностью события А называется отношение числа исходов благоприятствующих событию А к общему числу исходов. Р(А)=m/n.

Пример. Бросается игральная кость. Найти вероятность выпадения четного числа очков.

Решение. Обозначим А-событие состоящее в том, что выпавшее число очков делится на 3. Число исходов благоприятствуюших событию А-два: 3,6. m=2.Общее число исходов n=6: 1,2,3,4,5,6. Поэтому вероятность события А равна 1/3.Р(А)=3/6=1/3.

События классифицируются следующим образом:

1) Событие называется достоверным,если в результате испытания, оно обязательно наступит. Например, при бросании игральной кости выпадение числа очков от одного до шести- достоверное событие. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице.

2) Событие называется невозможным, если в результате испытания оно никогда не наступит. Например, при бросании игральной кости выпадение числа очков большего,  чем шесть есть невозможное событие. Очевидно, что вероятность невозможного события равна нулю.

3) Событием противоположным событию А называется событие  состоящее в том , что событие А не произойдет. Например, если А-событие состоящее в том, что на игральной кости выпадет четное число   очков, то противоположное событие  будет состоять в том, что на игральной кости выпадет нечетное число очков. Если обозначить Р(А)=р,                    Р()=q, то  р+q+1.

4) Два события называются несовместными, если в результате испытания они не могут наступить одновременно. Пусть бросается игральная кость. Обозначим событие А-выпадение четного числа очков, В-выпадение числа очков делящихся на 3, С-выпадение числа очков делящихся на 5. События В и С- несовместны, события А и В-  совместны.

Определение. Совокупность событий  образует полную группу, если в результате испытания наступит одно и только одно из них.

Очевидно, что никакие два события из полной группы несовместны.

Определение. Суммой двух  событий А и В называется событие состоящее в том, что наступило или событие А, или событие В.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Для совместных событий эта формула неверна.

Пример. Бросается игральная кость. Обозначим А-выпадение нечетного числа очков, В-выпадение  числа очков делящихся на 4. Найдем вероятность выпадения числа очков либо нечетного, либо делящихся на 4. События  А и В несовместны, поэтому применима теорема сложения. Р(А)=3/6=1/2, Р(В)=1/6. Р(А+В)=1/2+1/6=2/3.

Вероятность суммы событий образующих полную группу равна единице, так, как их сумма есть достоверное событие. То есть, если - полная группа, то .

Определение. Произведением двух событий А и В называется событие состоящее в том, что наступит, как событие А, так и событие В.

Определение. Вероятностью события А при условии, что событие В наступило называется условной вероятностью и обозначается(А).

Пример. Имеется 2 ящика. В первом ящике 2 белых и 3 черных шара, во втором 5 черных и 4 белых. Наудачу выбирается ящик и из него наугад выбирается шар. Обозначим: В-выбор второго ящика, А- выбор белого шара, тогда (А)=4/9.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности события А на вероятность события В при условии, что событие В наступило, или произведению вероятности события В на вероятность события А при условии, что событие А наступило. Р(АВ)=Р(А)(В)=Р(В)(А).

Пример. Из колоды в 36 карт вытаскивается одна. Найти вероятность появления черного туза.

Решение. Обозначим события: А-появление черной масти. В-появление туза, тогда АВ будет являться событием состоящим в том, что появился туз черной масти. Р(АВ)==(1/2)(2/18)=1/18.

Теорема сложения для совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их одновременного появления.

 Пример. Цепь состоит из двух элементов а и в, соединенных последовательно. Найти вероятность выхода из строя цепи, если вероятность выхода из строя элемента  а - 0,6 ; элемента в -0,7.

Решение. События: А-вышел из строя элемент а, В- вышел из строя элемент в. Разрыв цепи наступит,  если выйдет из строя  элемент а, или элемент

 а                               в

в. Очевидно, что события А и В совместны, поскольку они могут наступить одновременно, поэтому применяя теорему сложения для совместных