Ответы на экзаменационные билеты № 1-30 дисциплины "Адаптивные системы управления" (Математическое описание сигналов и операторов в непрерывных линейных детерминированных системах. Адаптивные системы управления)

ТАУ 1-1. Математическое  описание сигналов и операторов в непрерывных линейных детерминированных системах

Система — набор элементов, которые объединены для достижения технической цели.

Детерминированная система — система с жесткими воспроизводящими характеристиками, которые воспроизводят одинаковые выходные сигналы.

Характерным признаком для системы будет являться прохождение информации в одном направлении. На входе будут входные сигналы, на выходе — выходные сигналы или переменные.

Если часть информации с вых. возвращается на вход, то в этом случае мы имеем обратную связь, которая м. б. либо «+», либо «-».

Если на входе эти сигналы будут суммироваться, то они «+». Бывают динамичные обратные связи, которые действуют на переходном времени. Если в системе 2 элемента, то она м. б.   автоматической, если есть обратная связь. В ней осуществляется регулирование по отклонению. Если нет обратной связи, она получается разомкнутой.

Математической основой для описания и анализа элементов системы м. б. ДУ.

ДУ м. б. линейные и нелинейные.

Линеаризация характеристик элементов и систем, т.е. разложения в ряд, либо графически и находим коэффициенты.

Найдем простейшие функции. Возьмём функцию Дерака.

                                                   

Воспользуемся интегральной зависимостью:

,    t — фиксированные точки, τ — переменные точки

С помощью функции Дирака можно зафиксировать значения сложной функции.

Сложную функцию можно выразить ч/з набор импульсов, изменяя значения времени, задавая функцию Дирака в различных точках временной оси, мы можем сформировать любую амплитуду сигнала.

ТАУ 1-2 Гармоническая функция: . На выходе будут изменения либо по фазе, либо по амплитуде.

                        

Эти функции являются основой для исследования временных, частотных характеристик.

На выходе для функции Дирака получим:

g(t,τ)=A δ(t- τ) — функция реакции системы на функцию Дирака (весовая функция).

Весовая функция характеризует св-ва либо элемента, либо самой системы.

Если на входе:  

h(τ)=A×1(τ) — переходная функция

Если на входе cosωt, то на выходе:

y(ωt)=Acosωτ

Пусть есть оператор

На основании уравнения Дюамеля:

Можно найти зависимости вых. величины от сигналов ч/з промежуточные состояния.

В этом случае, если представить входной сигнал , то на выходе будет иметь такую же сумму

Для того, чтобы охватить весь спектр этих составляющих надо включить еще и мнимые состояния: z(jωt) и y(jωt). Связь м/ду частотными характеристиками:

y(jω)=WA(jω)z(jω)

передаточная (частотная функция) — обозначает передачу входного сигнала на выход.

Преобразование Лапласа охватывает мнимые составляющие.

— отражает мнимые составляющие.

Если вх. и вых. преобразовать по Лапласу, то вх. и вых. перем. преобраз-е по Лапласу м. связать м/ду собой ч/з W — передаточную ф-цию.

p=jω+c=0

ТАУ 1-3

Если сделать преобразование Лапласа весовых функций

— передаточная функция.

 — преобразование Карсона.

 

Если сделать преобразование Фурье:

          

Задаёмся значениями частоты , находим  и чертим график.

Если с начала координат провести вектор в точку ; длинна вектора коэффициент передачи системы на данной частоте,  а угол  сдвиг фаз на данной частоте.

Амплитудная характеристика

Фазовая характеристика  

ТАУ 2-1. Математическое описание сигналов в непрерывных линейных стохастических системах.

Для них характерным понятием является случайный процесс, который может появляться на входе, на выходе, на выходе, либо и там и там одновременно.

Для оценки таких составляющих необходимо знать функции плотности распределения, тогда можно найти случайные величины через эти плотности , через интервалы свертки (с функцией распределения).

Прогнозирование следующего значения на основе предыдущего имея некоторую зависимость, следовательно существует некоторая база для создания теории.

Например, спектральный метод:

     —   среднее математическое отклонение

   — дисперсия

Для стационарных процессов число случайных точек можно заменить средним числом на интервале наблюдения

Получаем среднее значение и делим на число точек

Меру связанности назвали корреляционной связью. Изучается коэффициент корреляции для одной и той же выборки

, τ=0,1,2…

Аргументы второй составляющей сдвинуты на τ. Последовательно задаемся значениями τ и находим коэффициенты для всех возможных значений.

τ =0:  

τ =1:  

τ =2:  

Можно найти целое семейство коэффициентов, которые будут связью одного и того же процесса при сдвиге.

Взаимокорреляционная функция:

M{x(t)y(t+τ)}=Rxy(τ)

Rxy(τ)=Rxy(τ)—взаимокорреляционная функция

Если τ =0, мы находим дисперсию входной и выходной величины Dxи Dyсоответственно.

А— математическая функция, которая описывает ТАУ 2-2 поведение системы, внутреннее состояние, свойства во временной области. Можно воспользоваться весовой функцией.

 — позволяет через весовую функцию, зная изменение x на интервале, можно рассчитать значение y в соответствующий момент времени. Составим корреляционную функцию вида:

Взаимокорреляционные и автокорреляционные функции связаны через интеграл и через весовую функцию, которая описывает внутренние процессы.ъ