Синтез дискретных и оптимальных системы управления

W=c2d(W5,T,'ZOH') – функция c2d осуществляет перевод в дискретную область .

[a b]=tfdata(W,'a')

step(W,W5,50)Полученная передаточная дискретной модели в этом случае будет иметь вид : 2.097e-005 z^2 + 7.915e-005 z + 1.866e-005

z^(-20) * -----------------------------------------z^3 - 2.779 z^2 + 2.571 z - 0.7919

Рис.1.1 Сравнение непрерывной модели с дискретной, полученной с помощью ‘ZOH’.

2) Экстраполятор первого порядка.

Имеет вид:

В Matlab может быть реализован с помощью ‘FOH’. Для перевода запишем программу:

T=1

W1=tf([1],[10 1],'td',3)

W2=tf([1],[750 100 1],'td',17)

W5=W1*W2

W=c2d(W5,T,'FOH')

[a b]=tfdata(W,'a')

step(W,W5,50)

Передаточная полученной дискретной модели в этом случае будет иметь вид :       5.304e-006 z^3 + 5.57e-005 z^2 + 5.316e-005 z + 4.611e-006              z^(-20) * -------------------------------------------------------------------------z^3 - 2.779 z^2 + 2.571 z - 0.7919

Рис.1.2 Сравнение непрерывной модели с дискретной, полученной с помощью ‘FOH’.

3)  Билинейная аппроксимация Тастина.

Основано на использовании приближенного соотношения, введенного Тастином:

В Matlab может быть реализован с помощью ‘TUSTIN’. Для перевода запишем программу:

clc,clear

T=1

W1=tf([1],[10 1],'td',3)

W2=tf([1],[750 100 1],'td',17)

W3=c2d(W1,T,'TUSTIN')

W4=c2d(W2,T,'TUSTIN')

W5=W1*W2

W=W3*W4

[a b]=tfdata(W,'a')

step(W,W5,50)Передаточная полученной дискретной модели в этом случае будет иметь вид:  1.488e-005 z^3 + 4.463e-005 z^2 + 4.463e-005 z  + 1.488e-005

z^(-20) * ----------------------------------------------------------------------------z^3 - 2.779 z^2 + 2.57 z - 0.7917

Рис.1.3 Сравнение непрерывной модели с дискретной, полученной с помощью ‘TUSTIN’.

Как видно из графиков все три способа позволяют достаточно точно перевести систему в дискретную область, хотя передаточные отличны друг от друга.

Сведем полученные коэффициенты в таблицу:

	ZOH	FOH	TUSTIN
b0	2,079*e-0.05	5,304*e-006	1,488*e-005
b1	7,915*e-005	5,57*e-005	4,463*e-005
b2	1,866*e-005	5,316*e-005	4,463*e-005
b3	0	4,611*e-006	1,488*e-005
a0	1	1	1
a1	-2.779	-2.779	-2.779
a2	2.571	2.571	2.571
a3	-0.7919	-0.7919	-0.7919

В дальнейшем при расчетах будем использовать экстраполятор нулевого порядка.

Теперь определим период квантования. Для этого реализуем  в Matlab дискретную систему, полученную на основе непрерывной, но при различных периодах квантования.

clc,clear

T=1

W1=tf([1],[1 0.2],'td',1)

W2=tf([0.3],[35 1 0],'td',7)

W5=W1*W2

W=c2d(W5,T,'ZOH')

W6=c2d(W5,2,'ZOH')

W7=c2d(W5,7,'ZOH')

W8=c2d(W5,10,'ZOH')

[a b]=tfdata(W,'a')

step(W,W5,W6,W7,W8,50)

1.4. Сравнение дискретных моделей, полученных с помощью различных периодов квантования.

Из графика видно, что нет значительных отличий в полученных дискретных моделях.

В дальнейшем примем период квантования равный 1, ввиду того, что это наименьший период; полученная система достаточно точно отражает непрерывную; увеличение периода квантования не желательно, т.к. он действует на систему, как запаздывание.

2.Построение временных и частотных характеристик объекта регулирования.

Для построения частотных характеристик в пакете MATLAB существуют определённые команды: nyquist(ww) – для построения амплитудо-фазо-частотной характеристики, и bode – для построения амплитудной и фазовой характеристик.

Построение частотных характеристик для непрерывной системы:

m-file

clc,clear,clf

ww=tf([1],[7500 1750 110 1],'td',20);

w=0:0.002:100;

nyquist(ww)

figure(2)

bode(ww) 

Рис.2.1 АФЧХ непрерывной системы

Рис.2.2 АЧХ непрерывной системы

Рис.2.3 ФЧХ непрерывной системы

Для построения частотных диаграмм для дискретной системы необходимо для начала перейти в дискретную область, а затем воспользоваться известными функциями:

m-file

clc,clear,clf

ww=tf([1],[7500 1750 110 1],'td',20);

wwww=c2d(ww,30)

nyquist(wwww)

figure(2)

bode(wwww)

Рис2.4. АФЧХ дискретной системы T=10

Рис.2.5 АЧХ дискретной системы T=10

Рис.2.6 ФЧХ дискретной системы T=10

Для построения временных характеристик воспользуемся командой step(ww) (реакция системы на единичное воздействие):

m-file

clc, clear

ww=tf([1],[7500 1750 110 1],'td',20);

step(ww)

Рис.2.7 временная характеристика непрерывного объекта

Для дискретного объекта, алогично с предыдущим случаем, переведём систему в дискретный вид, а затем уже строим реакцию объекта на единичное воздействие:

m-file

clc, clear

ww=tf([1],[7500 1750 110 1],'td',20);

www=c2d(ww,10,'ZOH')

step(www)

Рис.2.8 временная характеристика для дискретной системы

3. Синтез дискретного регулятора.

Для синтеза нужно знать качественные показатели, необходимо на основе существующих систем знать требования к структуре регулятора. Будем считать, что технологический объект представляет собой непрерывное динамическое звено. Для технологических процессов практически не используется вариант параллельного включения регулятора. Поэтому будем рассчитывать регулятор, включенный последовательно с объектом.

Для системы вида:

требуется рассчитать дискретный регулятор.

При расчете данного регулятора принимают следующие положения:

- за n тактов переходной процесс завершается (t_рег=mT);

- переходный процесс близкий к апериодическому.

Эти условия сложно обеспечить типовыми законами регулирования, следовательно, этот регулятор имеет более сложную структуру.

Пусть передаточная объекта имеет вид:

Тогда передаточная дискретного регулятора будет иметь вид: