Системы прямого адаптивного управления: Учебное пособие по курсу “Адаптивные системы управления”, страница 15

                                                         (4.3)

независимо от действующих возмущений; F - вектор-функция, описывающая желаемые динамические свойства по выходным переменным, v - вектор уставок, v Î R^m, v = const. Решение поставленной задачи стабилизации динамических свойств нестационарного объекта ищется в классе адаптивных систем.

4.1.2  Определение структуры адаптивного регулятора

 Нетрудно показать, что  для рассматриваемого класса объектов поставленная задача имеет решение, если выполняются условия:

где k - вектор настраиваемых коэффициентов регулятора. Таким образом, дополнительно к условиям, определяющим класс рассматриваемых объектов, требуется ограниченность области допустимых значений переменных состояния, коэффициентов регулятора.

На первом этапе синтеза определяется структура регулятора. Переходные процессы в системе управления должны подчиняться (4.3). Уравнение основного контура получено методом эталонного уравнения (методом разомкнутого контура), т.е. из равенства уравнений замкнутого контура и желаемой динамики:

                               (4.4)

где k - вектор настраиваемых коэффициентов регулятора, kÎR^m,  dim C₂=(mxm ),  det (C₂ B ) ¹ 0. В общем случае алгоритм настройки коэффициентов регулятора можно  организовать в соответствии с уравнением

где Y- нелинейная вектор - функция. В дальнейшем будем рассматривать алгоритмы вида:    

                                                                                   (4.5)

где  g = diag{ g₁ ,..., g_m }  - матрица коэффициентов передачи, L - вспомогательная матрица, элементы которой зависят от координат состояния.  Значения g_j и вид L  определяются из  условия сходимости процессов к желаемой траектории. Изменение коэффициента регулятора направлено на уменьшение рассогласования между  и  F. Использование информации о векторе производных выходных переменных позволяет говорить о том, что вариации параметров объекта достаточно быстро будут парироваться коэффициентами регулятора.

4.1.3  Сходимость  процессов к желаемой траектории

Исследование устойчивости системы с разрывным алгоритмом адаптации проведено на основе аналога теоремы Ляпунова для систем со скользящими режимами [4]. Для анализа системы выбрана функция в виде квадратичной формы

,

где. Полная производная по времени выбранной функции равна

где   .

С учетом (4.2) производная рассматриваемой функции  ()  будет  отрицательно определенной, если выполняются условия

                                (4.6)

     (4.7)

причем Q = diag{ q _j }, Q > 0, Q = const , а элементы  - зависят от рассогласования между соответствующими компонентами векторов a и k . Таким образом, величина λ_i определяется, в основном, координатными (ε_i )  и параметрическими рассогласованиями.

Утверждение 1:  адаптивная система (4.1), (4.4), (4.5) асимптотически устойчива по ε при      x ≠ 0, если элементы матриц Lи γ удовлетворяют условиям (4.6), (4.7).

          Требуемые оценки координат состояния и элементов вектора  могут быть получены с помощью линейного фильтра оценки производных (наблюдателя  состояния) [1,2]. С помощью функций Ляпунова можно получить оценку времени сходимости  процессов к желаемой траектории. Основная идея способа изложена [5]. В [2] показано, что время сходимости процессов в системе стабилизации с производными в законе адаптивного управления конечно и зависит от координатных и параметрических рассогласований в начальный момент времени, а также от коэффициента передачи адаптора.

Пример 4.1 Расчет двухканальной адаптивной системы

Рассмотрим свойства адаптивной системы стабилизации динамических характеристик  двухканального нестационарного объекта. Динамика объекта описывается уравнениями:

где - неизвестные переменные, а -постоянные коэффициенты, i ≠ j.

Выбор желаемой эталонной модели определяется показателями качества (перерегулирование -  , время переходного процесса по каналам - , величина установившейся ошибки - ):