Системы прямого адаптивного управления: Учебное пособие по курсу “Адаптивные системы управления”, страница 10

где φ – функция чувствительности. Данный алгоритм обеспечивает изменение настраиваемого коэффициента в каждый текущий момент времени, направленное на минимизацию функции цели. Принимая во внимание, что , функция чувствительности может быть определена через передаточную функцию. Основная трудность при синтезе таких алгоритмов заключается в определении φ , так как закон изменения параметров объекта не известен. В случае, когда система и модель операторно тождественны, то φ  можно получить, используя оператор (передаточную функцию) эталонной модели. Но при этом ужесточаются требования, предъявляемые к эталонной модели, и, тем самым, исключается возможность использовать в качестве ЭМ динамическое звено меньшего порядка по сравнению реальной системой.

3.2.1. Постановка задачи

   Проведем синтез адаптивной системы для одноканального линейного объекта управления

                                           (3.2)

где u, y – управляющая и выходная переменные соответственно, . Параметры объекта a_i, b_j точно не определены, но заданы (n + m + 1) – мерной областью возможных значений W_ab. Операторная запись уравнения (3.2) имеет вид

                                                   (3.3)

где a (p) = pⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₀ ,    b (p) = b_m p^m + b_m-1 p^m-1 + … + b₀ ,

pⁱ = dⁱ / dtⁱ – оператор i- кратного дифференцирования.

   Цель управления зададим предельным соотношением

                                                 (3.4)

где y_м (t) – эталонная траектория движения, которая удовлетворяет уравнению эталонной модели

                                                                                (3.5)

здесь   r – эталонное входное воздействие на систему. Оператор  является устойчивым, т.е. корни уравнения = 0 имеют отрицательную действительную часть.

3.2.2. Синтез адаптивного регулятора

   Для определения структуры “идеального” закона управления выполним преобразования уравнений (3.2) и (3.5). Вычтем из обеих частей уравнения (3.3) выражение (a (p) y):

0 = b (p) u – a (p) y .                                             (3.6)

   Полагая y = y_м , запишем уравнение (3.5)

                                                     (3.7)

   Прибавим к обеим частям уравнения (3.6) выражение () :

                                  (3.8)

где  Далее вычтем из (3.8) уравнение (3.5):

                                    (3.9)

где e = y – y_м. Пусть “идеальный” закон управления имеет вид

                                         (3.10)

тогда

                                                    (3.11)

   Так как полином является устойчивым по условию, то e® 0при t®¥, т.е. закон управления (3.10) позволяет обеспечить выполнение цели управления (3.4). Учитывая что b (p) и D_n-1 (p) не известны, реальный закон управления запишем в виде

                                            (3.12)

с операторами

   Если в процессе настройки коэффициентов будет выполнено  при t®¥ ,  то e® 0,  что показывает достижение поставленной цели управления.

   Для определения целевой функции введем новое рассогласование (s) , которое возникает в результате замены y_м на  yв уравнении эталонной модели (3.5),

                                                 (3.13)

   Если вычесть из (3.13) уравнение (3.5), то получим уравнение, описывающее связь между рассогласованиями e и s :

                                                    (3.14)

   Из (14) следует, что если s® 0 при t®¥, то в силу устойчивости  

e® 0 при t®¥ . Следовательно, будет выполнена поставленная цель. Это позволяет задать целевую функцию в виде

                                                     (3.15)

   Выполним преобразования уравнения (3.13). Просуммируем уравнения объекта (3.8) и регулятора (3.12):

,

приведем подобные и учтем (13):

    (3.16)

Введем обозначения для вектора неизвестных параметров

вектора настраиваемых параметров

и вектора координатных переменных

Уравнение для рассогласования (3.16) примет вид

.                                                     (3.17)