Алгебра векторов, страница 8

5. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построен на векторах , , . Выразить через них векторы  и .

6. В треугольной пирамиде SABC, где  - основание, S - вершина, даны векторы , , . Выразить через них вектор , где М - точка пересечения медиан .

7. В  точки P и F являются серединами сторон AB и AC. Выразить  через векторы  и .

8.  построен на векторах , . Найти векторы, коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.

9. В параллелограмме ABCD точка P лежит на AD так, что  и точка F лежит на AC так, что . Доказать коллинеарность векторов  и .

10. К вершине С прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, построенного на векторах , ,  приложены силы, изображаемые векторами , , . Найти величину и направление равнодействующей этих сил.

11. Векторы a, b, с  соединяют вершину треугольной пирамиды с вершинами её основания. Векторы m, n, p соединяют ту же вершину с серединами противолежащих рёбер. Доказать, что

 a + b + с =  m + n + p.

1.5. Векторное пространство. Базис векторного пространства.

            1.5.1. Определение векторного пространства, базиса, координат вектора.

Опр. 1.5.1. Векторным пространством называется любое множество векторов, для элементов которого

а). определена операция сложения (т.е. для каждой пары векторов а и b определен третий вектор с, являющийся их суммой: с = а + b);

b). определена операция умножения вектора на действительное число (т.е. для каждого вектора а и действительного числа  определен вектор а;

c). эти операции обладают установленными в разделе 1.2. Линейные операции над векторами свойствами:

1. а + b = b + а;