Алгебра векторов, страница 13

8. Найти вектор c, коллинеарный вектору а = 4 i – 7j -4k, образующий с осью Оу острый угол, если |c| = 18.

9. Даны точки А(1, -5, 10), В(-5, 7, -8), С(2, 2, -7), D(5, -4, 2). Проверить: 1) коллинеарны ли векторы  и ; 2) какой из векторов длиннее другого и как они направлены; 3) найти орт вектора .

10. Радиус-вектор точки Р образует с осью Ох угол , а с осью Oz угол , длина радиуса-вектора равна 4. Найти координаты точки Р, если ордината её отрицательна.

11. Найти координаты векторов, образующих с координатными осями равные углы, если длина их равна .

12. При каких значениях  и  векторы , 

коллинеарны?

13. Найти вектор b, коллинеарный вектору c = 3 i – 5 j + 4 k, образующий с осью Ох тупой угол, длина которого равна .

14. Найти координаты вектора a, образующего с осями координат углы  , длина которого равна 8.

15. Найти вектор c, направленный по биссектрисе угла, образованного векторами

a = - i + 2 j + 2 k  и b = 4 i – 3 k, и имеющий длину, равную .

16. Даны векторы а = (1, 1, 1), b = (-1, 2, -2), с = (2, -1, 3), d = (3, 1, -1). Разложить каждый из векторов по трём другим векторам.

17. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построен на векторах , , .

В базисе из ребер a, b, c найти координаты вектора , где O₁ - точка пересечения диагоналей параллелограмма A₁B₁C₁D₁.          

                                                  1.6. Скалярное произведение векторов. 

            1.6.1. Определение скалярного произведения векторов. Скалярным произведением векторов а и b называется действительное число, равное произведению длин векторов на косинус угла  между ними. Обозначения: (а, b), а b. Итак, , или .

            1.6.2. Свойства скалярного произведения:

1. (а, b) = (b, а);

2. (а, а) = |a|² (или  (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);

                        3. (а, b) = |b| пр_ba = |a| пр_ab;