Алгебра векторов, страница 21

Задачи для самостоятельной работы.

1. Упростить выражение (a – b)xc – (a + с)xb – (b + с)xa.

2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах 2m + n  и 3m – n, если |m| = 4, , .

3. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах

a = i – 2j + 2k и b = i – 3j + k.

4. Точки A(-2, 1, 3), B(-1, 3, 0), C(-4, 2, -1) являются вершинами ΔABC. Вычислить площадь треугольника и длину его высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

5. Вектор a ортогонален оси Oz и вектору c = 2i – j + 3k, образует с осью Oy острый угол и . Найти координаты вектора a.

6. Найти координаты вектора p, который ортогонален векторам a  = (5, -2, 3) и c  = (-1, 4, -3) и удовлетворяет условию , где b = 2i + j - k.

6. Сила F = 2i + j – 3k  приложена к точке N(2, -5, 3). Найти момент этой силы относительно точки P(1, -3, -1).

7. Векторы a, b, c удовлетворяют условию a + b + c = 0. Доказать, что axb = bxc = cxa.

8. Найти координаты единичных векторов, перпендикулярных к плоскости ΔABC, построенного на векторах  и .

9. Найти |(a – 3c)x(2a + c)|, если векторы a и c ортогональны и |a| = 4, |c| = 3.

10. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого являются векторы 3m + 2n  и

-5m + 4n, если , |n| = 2, .

11. Найти координаты единичного вектора p, перпендикулярного векторам a = i – 2j  и

c = 2j + 3k  и образующего с осью Oz тупой угол.

12. Даны векторы a = 2i + 6j – 3k, b = i + 5j – k,  c = –i – 3j + 2k. Найти координаты вектора p, ортогонального векторам b и c, если .

13. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках  A(2, -2, 3), B(3, -3, 4), C(1, 0, 1) и длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.

14. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах m = 2a - c  и

n = a + 3c, если .

15. Сила  f = (1, -2, 3) приложена к точке P(3, 1, 1). Найти момент этой силы относительно точки A(2, 0, 2).