Алгебра векторов, страница 4

Проекция вектора  на направление l будем обозначать .Так, на рисунке справа  , .

Свойства проекции вектора на ось устанавливаются следующими теоремами:

Теорема 1.3.1. Проекция вектора на направление равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и направлением: , где .

Теорема 1.3.2. Проекция суммы векторов на направление l равна сумме проекций слагаемых на это направление: .

Теорема 1.3.3. Проекция произведения вектора а на число  на направление l равна произведению  на проекцию вектора а на это направление: .

Докажите эти теоремы самостоятельно.

1.4. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Опр. 1.4.1. Выражение , где коэффициенты , называется линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …, а_n.

Опр. 1.4.2. Линейная комбинация векторов  называется тривиальной, если все  равны нулю.

Опр. 1.4.2. Линейная комбинация векторов  называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля ().

Опр. 1.4.3. Векторы а₁, а₂, …, а_n называются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору:

     .

Опр. 1.4.4. Векторы а₁, а₂, …, а_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:

     .

Для линейно зависимых векторов справедливы теоремы:

Теорема 1.4.1. Для того, чтобы векторы а₁, а₂, …, а_n были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих векторов был линейной комбинацией остальных.

Док-во. 1. Необходимость. Пусть векторы а₁, а₂, …, а_n зависимы, т.е. существует набор чисел , из которых хотя бы одно не равно нулю, такой, что . Примем для простоты, что . Тогда из  получим . Обозначим  (), тогда последнее равенство примет вид , т.е. вектор а₁ равен линейной комбинации остальных векторов.