Алгебра векторов, страница 6

Следствие. Если два вектора линейно зависимы, то один из них линейно выражается через другой.

Теорема 1.4.7. Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Следствие. Если векторы а и b неколлинеарны, и вектор с компланарен с векторами а и b, то с линейно выражается через векторы а и b (с является линейной комбинацией а и b), т.е. существуют коэффициенты  и  такие, что .

Теорема 1.4.8. Любые четыре геометрических вектора всегда линейно зависимы.

Следствие. Если векторы а, b и с некомпларны, то любой другой вектор d линейно выражается через векторы а, b и с (является их линейной комбинацией), т.е. существуют коэффициенты ,  и  такие, что .

Теоремы 1.4.7 и 1.4.8 доказать самостоятельно.

Решение типовых задач.

Пример 1.1. В , построенном на векторах  и , сторону АС разделили точками Р и М на три равные части. Найти вектор .

Решение. В находим вектор , но вектор . В  находим вектор  с – а  и . Тогда вектор  .

       Пример 1.2. Вравнобедренной трапеции ABCD боковая сторона , нижнее основание , . Найти стороны  и  и диагонали  и  трапеции.

            Решение. Вравнобедренной трапеции ABCD строим BP||CD, тогда  - равносторонний и вектор |a|c⁰. Вектор . Вектор  с – а. Вектор  . Вектор  .

Пример 1.3.  построен на векторах , . Найти вектор , коллинеарный биссектрисе ,если точка М лежит на стороне ВС.