Анализ линейных систем автоматического управления: Методическое пособие по дисциплине "Теория автоматического управления", страница 18

                .

Из последнего выражения легко определить время переходного процесса

                                                            .

Если принять     (величина часто используемой на практике допустимой ошибки), то

                                                            

Если к мнимой оси ближе всего находится пара комплексных корней  , то  

                                                             

                                   𝜂                                     По аналогии с предыдущим случаем

 

                                                                                                              

 

                                                                          или

                                                                           

Относительно    получилось трансцендентное уравнение, решение которого связано с серьезными трудностями. Если   определить как время вхождения экстремального значения переходного процесса в заданный коридор, то , а время переходного процесса должно удовлетворять условию:

                                                                           .

Устойчивость системы может характеризовать и другой параметр, определяемый  положением корней на комплексной плоскости и который называется колебательностью.

                                                                            

Этот параметр будет отличен от нуля, если среди корней характеристического уравнения присутствуют комплексные корни вида  . Каждая пара таких корней будет соответствовать поведению системы, которое описывается выражением вида:

                                                                           .

Выберем такой момент  t=t1 таким, чтобы , тогда

                                                                           .

Через период       и как следствие

                                             .

Разность амплитуд через период

                                            .

Безразмерную величину

                                              

принято называть затуханием за период (часто ее определяют в процентах) и в САУ она, как правило, должна иметь значения, находящиеся в диапазоне от 90% до 98%. Зная затухание за период можно определить колебательность системы

                                                                            .

Между колебательностью системы и запаздыванием по фазе этой системы существует вполне определенная связь

                                                            .

Задавшись степенью устойчивости и колебательностью, можно на комплексной плоскости определить ту область, в пределах которой должны находиться корни характеристического уравнения системы.

 

                                                             Im

                                                   𝜂

                           

 

                                                                               Re

 

                                    

Критерий устойчивости Гурвица

 Для определения устойчивости САУ с помощью переходного процесса или по положению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости надо решить дифференциальное уравнение вида

                                             ,                     (3.19)

 описывающее поведение систем. А это не всегда просто. В 1897 году швейцарский математик А. Гурвиц создал для линейных стационарных систем алгебраический критерий устойчивости. Алгоритм применения этого критерия достаточно прост.

1. Записать уравнение () так, чтобы выполнялось условие  ;