Анализ линейных систем автоматического управления: Методическое пособие по дисциплине "Теория автоматического управления", страница 17

4) Найти интеграл. Если интеграл берущийся, то получится аналитическое выражение, позволяющее определить характер изменение состояния системы. Если интеграл нельзя выразить через элементарные функции, то можно воспользоваться каким-либо численным методом нахождения интеграла.

Исследование устойчивости системы по переходному процессу

Построив переходный процесс можно сразу получить ответ на вопрос: «Устойчива система или нет?»

 

         x(t)                                                                               x(t)                                                                                         

 

                  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _                                           _  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

                                                                            t                                                                             t

                              Рис.                                                                                 Рис.

               Система устойчива.                                               Система неустойчива.

Кроме того можно определить быстродействие системы по времени переходного процесса. Считается, что процесс завершен, если начиная с какого-то момента, значение состояния системы отличается от номинального значения не более чем величина заданной допустимой ошибки. Обычно эта ошибка составляет 1% – 5% от номинала. Время от момента подачи входного сигнала до момента вхождения в заданный коридор и есть время переходного процесса.

График переходного процесса позволяет косвенно характеризовать запас устойчивости системы. Очевидно, что колебательная система менее устойчива, чем апериодическая. О склонности системы к колебаниям можно судить  по величине перерегулирования

                                                            .

В большинстве случаев считается, что запас устойчивости будет достаточным, если перерегулирование будет находиться в диапазоне 10% – 30%.

                        x(t)

                                                                                                

                                                                      

                        xном    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -                                             

                                                                      

 

                                                                                                             t

                                                           tпп

 

                                                           Рис.

Обычно строится область с заданными параметрами (рис. ) и если  переходный процесс находится внутри этой области, то считается, что система обладает всеми заданными параметрами.

Корневой метод

Характер поведения САУ можно определить и без построения переходного процесса. Очевидно, что если все корни характеристического уравнения находятся в левой (отрицательной) части комплексной плоскости, то система устойчива. Но кроме устойчивости по положению корней можно судить и о степени устойчивости. Под степенью устойчивости 𝜂 понимается абсолютная величина вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (или корней) характеристического уравнения. Эти корни в переходном процессе дают самое медленное затухание.

Если ближе всех к мнимой оси находится вещественный корень, то определяемая в переходном процессе этим корнем составляющая будет иметь вид:

                          𝜂        Im                                                  .

                              

Re

Очевидно, что после окончания переходного процесса,                            состояние системы должно иметь отклонение от номинального значения не более допустимой ошибки  Δ. Следовательно, и величина  начиная с момента  должна быть меньше Δ. Т.е.