Анализ линейных систем автоматического управления: Методическое пособие по дисциплине "Теория автоматического управления", страница 16

Решение линейных однородных стационарных уравнений аналитически (точными методами) возможно, только если эти уравнения имеют не высокий порядок. Уравнения 1 – го и 2 – го порядков всегда имеют решения. Уравнения 3 – го  и 4 –го порядков можно решить не во всех случаях. Уравнения более высокого порядка (кроме частных случаев) аналитического решения не имеют. Но если надо найти частное решение, то это можно сделать с помощью численных методов. Самый простой из них – метод Эйлера.  Суть его заключается в следующем:

Если дифференциальное уравнение первого порядка разрешить относительно производной неизвестной функции

                                             ,                                            (3.17)

то правая часть выражения (3.17) есть угловой коэффициент касательной, проведенной через точку с координатами (x;t), принадлежащей линии   

     x(t)

 

                                                                     

                               

                             Рис.

         Если заданы начальные условия   ,  то уравнение  касательной, проходящей через эту точку, будет иметь вид:

                                             .

Задавшись промежутком времени   можно определить приближенное значение функции    в момент времени 

                              .

Полученные значения    и   используются для определения последующих значений интегральной кривой

                                    .

Метод Эйлера является простейшим  одношаговым методом. Все одношаговые методы относятся к методам Рунге – Кутта. Метод Эйлера есть метод Рунге – Кутта первого порядка. На практике чаще всего используют метод Рунге четвертого порядка

                                    ,

где   

         ;

         ;

            .

Замечание 1. Все методы Рунге – Кутта могут обеспечить любую точность. Разница заключается в том, что при заданной точности количество шагов будет разное. Чем ниже порядок, тем больше требуется шагов для обеспечения заданной точности.  

Замечание 2. При решении дифференциальных уравнений высших порядков численными методами целесообразно представить уравнение в виде системы уравнений, каждое из которых есть дифференциальное уравнение 1 – го порядка.

В ТАУ для построения переходного процесса широко используют частотный метод. Изображением в образах преобразования по Лапласу импульсной переходной функции есть передаточная функция   . Если  p заменить на iω, то получим изображение импульсной переходной функции в образах преобразования Фурье. Следовательно, если воспользоваться обратным преобразованием Фурье, то импульсную переходную функцию можно определить как

 

 .

Если  – четная функция, а

          – нечетная функция, тогда

                                    ,

а

                         .

Из определения импульсной переходной функции следует, что при    функция  . То есть

                        .

Получается, что

                         .

На основании полученного результата импульсную переходную функцию можно определить как

                                    .

Зная импульсную переходную функцию можно определить характер изменения состояния системы

                                    .

Если входной сигнал есть единичная функция  ,  то состояние системы можно определить как

                                    .

Это двукратный интеграл, который можно интегрировать в любой последовательности

                         .

Величину   принято называть обобщенной вещественной характеристикой и обозначать .

                                    .                         (3.18)

Выражение (3.18) есть формула, которая позволяет определить переходный процесс помощью обобщенной вещественной частотной характеристики. Алгоритм построения можно представить следующим образом:

1) Передаточную функцию системы перевести в частотную область;

2) Разделить полученное выражение на действительные и мнимые части;

3) Действительную часть подставить в выражение (3.18);