Методы синтеза технических решений, страница 24

m, 7i, p: 1) т ^ n <^ p; 2) т <^ p ^ гг; 3) тг <^ /?г ^ p\ 4) и ^ p ^ ттг; 5) P ^ n <; m; 6) p <; т <^ rc.

Для доказательства неравенств (4.26)—(4.28) достаточно рас­смотреть их справедливость при всех возможных соотношениях чисел /тг, тг, р, что достигается непосредственной проверкой. Теорема доказана.

Расстояние на множестве 22т- Пусть имеются произвольные комбинации Z>! и D₂ ЕЕ rt-

Для каждой из этих комбинаций выпишем наборы неповторяю­щихся путей прадерева Т из корня в висячие вершины, которые проходят только через вершины, входящие в эти комбинации:

1.  di\ а = (0&!, а₂, . . ., а_т),   где   а_г =^= a_k   при  k ^ i.

2.  D₂ : р = {Р!, Р₂, . . ., р_п),  где   fa ф p_fe  при k ф i
Определим расстояние d между комбинациями D± и D₂ следую­
щим образом:

= max min

г=1,т j=i7n 1.

Теорема 4. i. d (D±, D₂) = 0 44 D± = Z?₂; 2. Для любых di, Z)₂, D₃<=R_T d (/?!, D₂) < d (Z)_lf Z)₈) + d (Z>₂, Z)₃).

1. Пусть Z>! = D₂. Тогда т = n и наборы аир совпадают с точностью до перестановок их элементов. Таким образом, при любом i = 1, т min р (оц, Р/) = 0 и при любом / = 1, п

min p (a_i? pj-) = 0. Отсюда d (D^ D₂) = 0. Пусть d (D±, D₂) = 0,

i=i7m

т. e.

max тшр((Х|, ^-) + niax minp(a_i? ^-) = X).

Отсюда  для  любого   i = i, т  min p (a_i?  P,-) — p (a_i? Py.) — 0

____

и для любого  / = 1, n min p (a_i? Py) = р (а^.,* Ру) = 0.

i = l,m

Заметим, что /г =т^ 7л ^ПР^И i =^= k и ii^ i_k при / =^= ^> так как в противном случае в наборах аир будут повторяющиеся эле­менты. Таким образом, между наборами аир можно установить взаимно-однозначное соответствие таким образом, что каждому элементу набора а будет соответствовать равный ему элемент набора Р, т. е. наборы а и Р совпадают с точностью до перестано­вок их элементов. Это означает, что D_± = Z)₂.

2. Пусть имеются произвольные комбинации di, Z)₂, D₃ из Л_т и им соответствуют наборы неповторяющихся путей a, p и y:

а = (а_ь а₂,..., а_т);      р = {(*_ь р₂,. .., р_л|;      у =;{?!, Tf₂,..., Т_Р}.

Покажем, что ma£ min p (oc^, p

i=i,w j=i,n

4.6. О чувствительности отображения G

Определим чувствительность отображения G относительно мно­жества /?_т как функцию, определенную на множестве всех под­множеств М-мернрго куба С_м. Если A d C_M, то

при